乙個農夫養了一頭牛，三年後，這頭牛每年會生出1頭牛，生出來的牛三年後，又可以每年生出一頭牛……問農夫10年後有多少頭牛?n年呢？
這裡主要談一下解決這種問題的思想。首先可以聯絡斐波那契數列，設f(n)為第n年的牛，則
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)————>
表示式1-1
即第n年的牛為去年牛的個數f(n - 1)加上今年出生牛的個數,那麼今年有多少頭牛能生呢？（不考慮死亡的牛）則為前年牛的個數即f(n - 2)，因為前年的牛今年至少3歲，即為表示式1-1。
推廣一下，將牛生育年齡設為m，那麼計算的表示式就變為
f(n) = f(n - 1) + f(n - m + 1)————>
表示式1-2
即n-1
年牛的個數加上n-m+1
年的牛生出的小牛。
那麼下面討論乙個稍微複雜點的問題，如果增加乙個條件，即牛會在第８年死去，那麼第n
年會有多少條牛呢？
為了便於推導，這裡先設幾個函式:
·
f(n)
即第n年牛的個數
·
h(n)
即第n年出生的牛的個數
·
g(n)
即第n年死亡的牛的個數
那麼這裡可以首先想到乙個表示式:
(1)f(n) = f(n -1) + h(n) - g(n)
即第n年牛的個數為第n-1
年牛的個數+
第n年出生的牛的個數-
第n年死亡的牛的個數
而第二個表示式即關於新增牛的個數h(n)
的：(2)h(n) = f(n - 2) - g(n - 1)
即第n年出生的牛的個數為第n-2
年牛的個數減去在第n-1
年死亡的牛的個數
再看第三個表示式關於第n
年死亡的牛的個數的：
(3)g(n)=h(n - 7)
即第n年死亡的牛的個數為第n - 7
年出生的牛的個數，這是乙個對稱的關係。
推導的步驟如下，將(2)
代入(1)
即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)- g(n - 1) - g(n)---->（4）
再將(3)
式代入(4)
即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) - h(n - 8) - h(n - 7)----->(5)
再將（2
）式代入（5
）的h(n - 7)
即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) - (h(n - 8) + f(n - 9) - g(n - 8))
到了這裡不難看出(h(n - 8) + f(n - 9) - g(n - 8))
即為f(n - 8)
通過式(1)
。則最終的表示式為
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) - f(n - 8)
即第n年牛的個數為第n-1
年牛的個數+
第n-2
年牛的個數-
第n-8
年牛的個數
當牛的生育年齡用a
表示，死亡年齡用b
表示時，則表示為：
f(n) = f(n - 1) + f(n – a +
１) - f(n - b)
驗證程式如下：
using system;
namespace topcoder
:", i, sum);}}
}///
//////
///要計算的年限
///牛的生育年齡
///牛的死亡年齡
///public
int feed(int year, int age, int deadage)
return sum;}
原**：
//遞迴演算法和非遞迴演算法 以及解釋
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