給定乙個字元集合must
[0,...,m-1
] 和乙個字串str
[0,...,n-1
]。假定n
<=m
。找出str
中包含must
中所有字元的最短子串。
例如：給乙個字串s1,和乙個小串s2，求演算法能在s1中找到包含s2裡所有字元的最小子串。比如：
s1 = 「adobecodebanc」
s2 = 「abc」
最小子串是 「banc」，要求o(n)的演算法。
1、最直接和簡單的演算法當然是暴力搜尋(brute-force search)：
minimal := str [0,...,n-1 ]
fori from 0 ton-1 do
search smallest ki
such that str [i,...,ki
]contains all characters from must .
//尋找最小的ki
，使得str [i,...,ki
] 包括所有must 中的字元
if str [i,...ki
] is shorter than minimal , then update minimal to str [i,...,ki
]//如果該子串比當前已知的最知子串還短，則設定當前最小子串為該子串
可以看出，該演算法的複雜度為 o(nk ) 。如果 k =o(n )，則為o(n2
)。那麼，有沒有更好的演算法呢？一般來說，暴力演算法會包含很多不必要的或重複的計算。這些不必要的計算有時可以通過剪枝的方法來避免。接下來，我們就來研究如何避免不必要的計算。
首先，如果 str [i ] 不在must 中，則可以安全的跳過以 str [i ] 開始的子串（注意：這裡所說的以 str [i ] 開始的子串，是指從 str 的位置 i 開始的子串，即 str [i,...,k ]，而不是以 str [i ] 這個字元開頭的子串；下同。）這是基於如下觀察：
觀察1： 如果 str [i,...,ki
] 是最短的包含 must 中所有字元的子串，則 str [i ] 和str [ki
] 都在
must
中。其次，我們還有
觀察2： 如果 str [i,...,ki
] 是包含 must 的子串，並且str [i ] 在 str [i,...,ki
] 中不止出現一次，則
str [i+1,...,ki
] 也包含 must 中的所有字元。
基於觀察2，在暴力演算法中，當然從
i轉到
i+1時，如果能以某種快速的方法知道
str
[i ] 在 str [i,...,ki
] 中不只出現一次，則無須搜尋以
str[
i+1] 開始的符合要求的子串：因為
str[
i+1,...,ki
] 就是我們要尋找的。
觀察3：
如果 str [i,...,ki
] 是包含 must 的子串，但 str [i ] 只在 str [i,...,ki
] 出現一次，顯然，str [i+1,...,ki
] 包含了除 str [i ]外 must 中所有的字元。如果我們在 str [ki +1,..., n-1 ] 中尋找第乙個出現的 str [i ]，記為 ki+1
，則str
[i+1,...,ki+1
] 是以
str[
i+1] 開頭的包含
must
的最短子串。
基於這以上三個觀察，我們可以減少暴力演算法中的多少不必要的計算呢？以下我們先給出
剪枝後的演算法。
step 1: 首先，從i := 0 ，我們找到第乙個包含must 的以str [0 ] 開始的最小子串：str [0,...,k0
]。顯 然，這也是當前我們所知的最短子串。設 j := k0
；step 2: 接下來，假定我們已經知道str [i,...,j ] 包含了 must 。
step 3: 考慮當前 i 。
1) 如果 str [i ] 不在 must 中，根據觀察1，我們繼續向前移動i := i + 1 ；
2) 如果str [i ] 在 must 中，且在 str [i ] 在 str [i,.j ] 中不止出現一次，根據觀察2，繼續向前移動i= i + 1 ；
3) 否則，如果 str [i,...,j ] 比 mininal 還要短，則我們找到了更短的子串，設定mininal := str [i,...,j ]，然後向前移動 j 直到 str [j ] == str [i ] 或者j
< n-1 ，則結束程式；否則，回到 step 3。
注意到我們在 step 3 中的 1）和 2）並沒有更新 mininal 。這是因為那是多餘的。如果發生了1），則在之後的某一刻一定會發生2）或者3）（這裡假定 must 不為空）；如果發生了2），則在之後的某一刻會發生3）。而由於基於以上三個觀察的剪枝是安全的，即不會影響到解的正確性，所以，上述演算法也是正確的。事實上，該演算法的正確性也可以通過歸納法得以證明。上面的描述基本上就是遵從了歸納法的描述框架。
那麼，剪枝後的演算法複雜度呢？注意到 step 3 的迴圈中，我們每次都至少向前移動 i 或 j 一步，因此，該迴圈最多執行 2n 次。如果我們使用乙個雜湊表來記錄 str [i,...,j ] 中每個在 must 中的字元的出現次數，就可以在o(1)的時間內決定是分支到1）2）3）中哪一支。而顯然，在1）和2）分支中，時間為 o(1)；而在 3）中，除掉移動 j 的步驟，時間也為 o(1)，而移動 j 的步驟已經被計算到迴圈所需要的次數中了。因此，整個演算法的複雜度為 o(n )。
另外一種思路：
使用乙個256元素大小的hash表儲存字元出現的個數.
初始時將hash中在s2中出現了的元素初始化為0，其餘初始化為-1.
兩指標p1,p2都指向s1首字元，在p2向後移動過程中，如果遇到了hash值為0時
則count計數加1，如果count的值等於s2的長度時證明p1~p2之間已經有了乙個
子串為s2了，
此時記錄下他們的位置和距離。繼續把p1向後移，注意更新hash值和count,
直到找到最短的
int findminstring(char *s1,char *s2)
//將字符集s2中的字元對應的陣列元素初始化為0,s2中的字元在hash中的值》=0
for(char *p=s2;*p!='\0';p++)
char *p1=s1;
char *p2=s1;
char *min_p1=s1;
char *min_p2=s1;
int minlen=int_max;
int count=0;//標識已經是否有了乙個串中包含字符集s2
int len_s2=strlen(s2);
while(*p2!='\0' || len_s2==count)
p2++;
}if(count==len_s2)//即找到了乙個串中包含s2中所有字元的串
{if(p2-p1
求包含所有顏色的最小子串
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