卷積
最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學時候學訊號與系統的時候就沒學會，我於是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說:"我也早就想把這個問題搞明白了！"經過一段時間的思考之後，有一些很有趣的體會和大家分享。
聽說卷積這種表示式物理學家發明的，在實際中用得不亦樂乎，而數學家卻一直沒有把運算的意義徹底搞明白。仔細品以下，還是有那麼點滋味的。
下面先看一下劍橋大學的教科書對卷積的定義：
我們都知道這個公式，但是它有什麼物理意義呢，平時我們用卷積做過很多事情，訊號處理時，輸出函式是輸入函式和系統函式的卷積，在影象處理時，兩組幅解析度不同的圖卷積之後得到的互相平滑的影象可以方便處理。卷積甚至可以用在考試作弊中，為了讓**同時像兩個人，只要把兩人的影象卷積處理即可，這就是一種平滑的過程，可是我們怎麼才能真正把公式和實際建立起一種聯絡呢，也就是說，我們能不能從生活中找到一種很方便且具體的例子來表達公式的物理意義呢？
有乙個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。
有乙個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。
無賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂挨了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天 如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天......每天去縣衙門領乙個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持乙個月之久！這無賴的名氣已 經和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！
縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考乙個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？......想當初，本老爺金榜題名時，數學可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：
——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？
——費話，疼唄！
——我問的是：會有什麼表現？
——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨乙個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子， 他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫， 一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）—— 死啦！
縣令鋪開座標紙，以打板子的個數作為x軸，以哼哼的程度（輸出）為y軸，繪製了一條曲線：
——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀？
——呵呵，你打一次的時間間隔（δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是乙個常數；如果縮短打板子的時間間隔 （建議δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果， 再多打就顯示不出您的仁慈了。
——還是不太明白，時間間隔小，為什麼痛苦程度會疊加呢？
——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨乙個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失 （衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每乙個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻：
t個大板子造成的痛苦程度=σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減係數)[衰減係數是（t-τ）的函式，仔細品味]
數學表達為：y(t)=∫t(τ)h(t-τ)
——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規律嗎？
——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什麼彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？
——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！
傅利葉變換和卷積的物理意義
這裡沒有數學公式，倒不是像費曼那樣高風亮節，而是這裡輸入公式太煩，不然...
突然說這個話題是因為在水房洗衣的時候，一數學系正在刮鬍子的哥們突然問我傅利葉變換的物理意義是什麼？當時我就宕機了，不知怎麼答。
傅利葉變換伴隨了我四年，從數學分析課上學會計算，然後光學中的夫朗和費衍射，接著訊號處理，然後是srtp中的數字全息都和這個息息相關，可是，課堂上強調的是會算，會用就行了，而對其物理意義，書上語焉不詳，老師隻字未提。
傅利葉變換的產生，是乙個叫約瑟夫.傅利葉的法國人《熱的分析理論》中作為乙個數學工具而引入的，所以它的發展一直在其工具出身的陰影下，對於其意義不同學科有不同版本的闡釋，但更多的是作為乙個計算工具輔助計算，所以要我說其有什麼物理意義，一時間真的不知怎麼回答。
於是我只好舉個例子，傅利葉變換在光學上的物理意義。
我們都知道，會聚透鏡（簡單地說，就是普通的凸透鏡啦）除了具有成像性質外，最有用的就是它還具有進行二維傅 立葉變換的本領。由物理光學可知，在單位振幅的平面光波垂直照明下 的夫朗和費衍射，恰好實現衍射屏透過率函式的傅利葉變換。
即一束光通過凸透鏡在焦平面上採集到的影象即為這束光的頻率空間資訊，亦即數學上對這束光進行一次傅利葉變換後的結果。
所以傅利葉變換在這裡的物理意義就是將光的空間分布轉換為頻率分布（相空間），在靠近原點的部分為影象低頻部分，遠離原點部分為影象高頻部分。
這時那哥們就問：那麼變換後高頻部分對應影象的哪一部分呢？因為有個老師講課時說，原來原點部分對應變換後距原點無窮遠處，而原來的無窮遠處則對應變換後的原點。（我突然想起了倒易空間，聯想到這個沒什麼道理）
直覺上我覺得這樣說是錯誤的，因為傅利葉變換並非一一對應的，頻率空間上任何一處，哪怕只有一點都與原來的整幅影象有關，也就是說，這是非局域性的。
舉個例子，全息圖，任取全息圖的一部分還原（做一次逆傅利葉變換）成的影象都是原來的整幅影象，但由於高頻資訊的缺失所以還原影象比原影象要模糊。
而頻率空間體現的是什麼呢？是原影象的變化程度。舉個最簡單的例子，一束平行光經過凸透鏡後在焦平面（即頻率空間）上會聚為一點，在數學上就是平面波函式經過傅利葉變換後得到乙個常量（訊號處理上又稱為直流量），意思是原來的影象（平面波）沒有"起伏"（即光強變化，因為是平行光），所以在原點（低頻）處有一點強光，數學上是衝擊函式，這樣搞過訊號的人大概會共鳴了吧。
沒錯！訊號書上經典例題，對階躍函式和衝擊函式通過傅利葉變換在物理光學上的對應就是平行光通過凸透鏡。
這就是傅利葉變換在光學上的物理意義，至於傅利葉變換在量子力學上的意義...不寫公式光靠文字描述的話我講不清楚。
還有就是卷積了，我只能說，它的影象意義便是兩個函式隨著自變數的變化不斷重疊的面積的疊加，至於其物理意義我就說不清了，因為我接觸卷積以來，它都只是計算工具，拉普拉斯變換啊之類的用於計算兩個函式疊加的工具，變換之後又做逆變換，然後很方便地得出正確結果。
我知道這肯定是不足的，除了知道怎麼算（這是基礎！），然後知道影象意義，可是卷積肯定有對應的物理意義。工科老師上課時只是把這個當成乙個工具，能用就行，可是這對學物理的我來說，對why有一種近似著魔的obsession，就像nolan的《the prestige》裡面對決的兩個魔術師一樣...
p.s.google卷積的物理意義得到的多數是定義，數學表達，影象意義，或者乾脆給個例題：乙個系統，其單位衝激響應為h(t)，當輸入訊號為f(t)時，該系統的輸出為y(t)。y(t)是f(t)和h(t)的卷積。
這些都不是其物理意義，最好給乙個物理過程對應卷積的計算過程。
卷積的意義
卷積 最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學時候學訊號與系統的時候就沒學會，我於是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說 我也早就想把這個問題搞明白了！經過一段時間的思考之後，有一些很有趣的體會和大家分享。聽說卷積這種表...
卷積的意義
卷積 最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學時候學訊號與系統的時候就沒學會，我於是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說 我也早就想把這個問題搞明白了！經過一段時間的思考之後，有一些很有趣的體會和大家分享。聽說卷積這種表...
卷積的意義
最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學時候學訊號與系統的時候就沒學會，我於是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說 我也早就想把這個問題搞明白了！經過一段時間的思考之後，有一些很有趣的體會和大家分享。聽說卷積這種表示式物...