最近數理方程正好學到了用積分變換解熱傳導方程，在解出的答案**現了卷積，並且這個卷積對應著明確的物理意義。我覺得這對於物理專業的學生來說，這是理解卷積的很好的角度。所以在這裡記錄下來。
我們考慮無限長細桿的熱傳導的定界問題：
其中 是細桿在不同時刻不同位置的溫度分布，它是
和 的函式。這個問題的物理意義是求解，當初始時刻無限長細桿上溫度分布為
時，細桿上的溫度分布會隨時間如何演化。
在這裡，我們直接給出這個方程的解：
其中 是高斯核，他的具體形式是：
到這裡，我們雖然給出了這個方程的解，但是如果對卷積沒有較為深刻的理解的話，我們還是無法看出這個解所包含的物理意義。為了考量這個解的物理意義，我們先考慮一種特殊的情況，即
。這時我們可以很容易解出：
這個結果在
的極限下就正是
。在不同的t下，我們畫出細桿上的溫度分布：
（來自老師的課件）
可見，所謂的高斯核
，其實就是初始點源
在時間t引起的溫度分布。並且它是隨著時間的增加逐漸擴散開來，這也與我們的直覺相符。
這個時候，我們在回過頭來看方程的解的卷積形式：
這個形式到底代表了什麼意義也就很明顯了。
這個卷積無非就是在告訴我們，在溫度t時刻，無限長細桿上的溫度分布，就等於初始時刻溫度分布
在每乙個點
上的溫度值都以
的形式擴散開來，然後再把這些值全部疊加起來，這就得到了總的溫度分布
。
如果弄明白了在這個問題中的卷積的意義，那麼對於其他情景下的卷積的理解也就更加容易了。
卷積的物理意義
卷積這個東東是 訊號與系統 中論述系統對輸入訊號的響應而提出的。因為是對模擬訊號論述的，所以常常帶有繁瑣的算術推倒，很簡單的問題的本質常常就被一大堆公式淹沒了，那麼卷積究竟物理意義怎麼樣呢？卷積表示為y n x n h n 使用離散數列來理解卷積會更形象一點，我們把y n 的序列表示成y 0 y 1...
卷積的物理意義
卷積這個東東是 訊號與系統 中論述系統對輸入訊號的響應而提出的。因為是對模擬訊號論述的，所以常常帶有繁瑣的算術推倒，很簡單的問題的本質常常就被一大堆公式淹沒了，那麼卷積究竟物理意義怎麼樣呢？卷積表示為y n x n h n 使用離散數列來理解卷積會更形象一點，我們把y n 的序列表示成y 0 y 1...
卷積的物理意義
著作權歸作者所有。對於初學者，我推薦用複利的例子來理解卷積可能更直觀一些 小明存入100元錢，年利率是5 按複利計算 即將每一年所獲利息加入本金，以計算下一年的利息 那麼在五年之後他能拿到的錢數是 在上式中，存錢函式，而複利計算函式。在這裡，小明最終得到的錢就是他的存錢函式和複利計算函式的卷積。為了...