平均需要拋擲多少次硬幣，才會首次出現連續的 2個正面？
首先，讓我們來考慮這樣乙個問題： k 枚硬幣擺成一排，其中每一枚硬幣都可正可反；如果裡面沒有相鄰的正面，則一共有多少種可能的情況？這可以用遞推的思想來解決。不妨用 f(k) 來表示擺放 k 枚硬幣的方案數。我們可以把這些方案分成兩類：最後一枚硬幣是反面，或者最後一枚硬幣是正面。如果是前一種情形，則我們只需要看前 k - 1 枚硬幣有多少擺法就可以了；如果是後一種情形，那麼倒數第二枚硬幣必須是反面，因而這種情形下的方案數就取決於前 k - 2 枚硬幣的擺放方案數。因此我們得到， f(k) = f(k - 1) + f(k - 2) 。由於擺放一枚硬幣有兩種方案，擺放兩枚硬幣有三種方案，因而事實上 f(k) 就等於 fk+2 ，其中 fi 表示 fibonacci 數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, …的第 i 項。
而「拋擲第 k 次才出現連續兩個正面」的意思就是，最後三枚硬幣是反、正、正，並且前面 k - 3 枚硬幣中正面都不相鄰。因此，在所有 2k 種可能的硬幣正反序列中，只有 fk-1 個是滿足要求的。也就是說，我們有 f1 / 4 的概率在第二次拋幣就得到了連續兩個正面，有 f2 / 8 的概率在第三次得到連續兩個正面，有 f3 / 16 的概率在第四次得到連續兩個正面⋯⋯因此，我們要求的期望值就等於：
讓我們先來說說什麼是生成函式吧。生成函式就是對數列進行編碼的一種方式。我們可以用乙個含有無限多項的多項式（注：這個說法是不準確的，有無限多項的不能叫多項式） a1 · x1 + a2 · x2 + a3 · x3 + … 把整個數列的全部資訊裝進去，其中第 i 次項係數就表示數列的第 i 項。因此，fibonacci 數列的生成函式就可以寫成：
厲害就厲害在，我們可以把生成函式表示成乙個更簡單的形式。先來看看 g(x)·x 的結果：
再看看 g(x) + g(x)·x 的結果：
你會發現， fibonacci 數列的遞推性質，使得上面這行式子與 g(x) 本身非常相像。事實上，如果把 g(x) 的每一項都除以 x ，再減去最前面多出來的 1 ，就能得到上面的這行式子了。因此，我們有：
我們甚至可以就此解出 g(x) 來：
於是，整個無窮級數 g(x) 被我們化簡為了乙個關於 x 的代數式！注意，雖然這個等式只在 x 充分小（小到級數 g(x) 收斂）的時候才有意義，不過這並不妨礙我們用這個代數式來代表 fibonacci 數列的生成函式。我們可以把 fibonacci 數列看作是生成函式的乙個「展開」：
也就是說，這麼乙個小小的代數式就容納了 fibonacci 數列的全部資訊！
生成函式是如此地具有代表性，以至於在研究數列時，我們常常會給出它的生成函式。在數列百科全書 oeis 中，生成函式幾乎是必不可少的一項。例如，在 fibonacci 數列 的描述中，formula 一欄的第一行就是 g.f.: x/(1-x-x^2) ，說的就是 fibonacci 數列的生成函式（generating function）。
更絕的是，我們還可以直接對數列的生成函式進行變換，從而得到新的數列。比方說，在生成函式上再乘以乙個 x ，我們就會讓每一項的 x 的指數加 1 ，從而讓整個數列右移一位，得到了乙個新的數列 fi-1，即 0, 1, 1, 2, 3, 5, …
現在，我們需要用各種代數運算手段，對等式左邊的生成函式進行變換，讓等式右邊的展開式變成本文開頭的那個數列。什麼操作能夠同時讓數列第 1 項除以 2 ，第 2 項除以 4 ，第 3 項除以 8 ，以此類推，讓所有的第 i 項都除以 2i 呢？我們可以把所有的 x 都用 x / 2 來替代：
化簡一下：
這就是數列 fi-1 / 2i 的生成函式了。接下來，我們想要讓第 i 項係數乘以乙個 i ，也就是想要讓每一項的係數都乘以該項的次數，這該怎麼辦呢？最神奇的地方出現了——我們對生成函式進行求導：
也就是：
不過，求導的同時，x 的次數也移動了一位。我們在生成函式上再乘以 x ，把 x 的次數糾正回來：
這就是本文最初的那個數列的生成函式了。令 x = 1 ，便有：
硬幣概率問題
一 利用不均勻硬幣產生等概率 問題描述 有一枚不均勻的硬幣，丟擲此硬幣後，可用foo 表示其結果。已知foo 能返回0和1兩個值，其概率分別為0.6和0.4。問怎麼利用foo 得到另乙個函式，使得返回0和1的概率均為0.5。問題分析 分析連續丟擲兩次硬幣的情況，正反面的出現有四種情況，概率依次為 1...
概率題（扔硬幣）
a 有 n 個硬幣,b 有 n 1 個硬幣,誰丟的正面多誰贏,問 a 不輸的概率？注意 不輸二字 我看了一些網上的答案，大多數寫的不是很流暢，所以我嘗試寫乙個清晰易懂的解法，相信小白也可以看懂。首先考察另乙個問題 我們分兩個階段來扔硬幣，假設在第一階段a扔了 n 枚硬幣，b扔了 n 枚硬幣。並且我們...
投擲硬幣（概率dp）
小hi有一枚神奇的硬幣。已知第i次投擲這枚硬幣時，正面向上的概率是pi。現在小hi想知道如果總共投擲n次，其中恰好m次正面向上的概率是多少。input 第一行包含兩個整數n和m。第二行包含n個實數p1,p2,pn。對於30 的資料，1 n 20 對於100 的資料，1 n 1000,0 m n,0 ...