話說芝諾提出的悖論有很多個，比較出名的有兩分法悖論，阿喀琉斯悖論，飛矢不動悖論，以及遊行隊伍悖論等等。
關於阿喀琉斯悖論描述大概是這樣的：阿喀琉斯是乙個跑得非常快的人，但是可以證明他追不上烏龜，證明方法是：每當阿喀琉斯追到烏龜剛才在的地方時，烏龜又往前挪動了一點距離，因此阿喀琉斯一直是在烏龜後面的永遠超不過它。
在introduction to mathematical philosophy當中有如下的通過數學證明的方法
1：假設剛開始的時候烏龜在x_1位置，阿喀琉斯在x_0位置，此時假設x_0是位於x_1後面的。
2：對於i>=1的狀態，每當阿喀琉斯到位置x_i時，烏龜便會移動到x_(i+1)，這時候x_i是在x_(i+1)後面，所以阿喀琉斯在x_i到x_(i+1)之間是沒有機會超過烏龜的。
3：由1，2得，阿喀琉斯在x_0到x_1，之間，x_1到x_2之間，……是沒有機會超過烏龜的。
4：對於所有的i，假設乙個正數t_i表示阿喀琉斯從x_i追到x_(i+1)所用的時間。
5：由4得，對於所有的i，阿喀琉斯從x_0追到x_(i+1)使用了t_0+t_1+...+t_(i+1)的時間，這裡面的t都是正數。
6：由5得，所以t_0+t_1+...+t_(i+1)是無限長的時間
7：由6得，所以阿喀琉斯沒有機會運動通過所有的x_0，x_1，x_2，...
8：所以阿喀琉斯一定在某乙個x_i的後面
9：由3和8得，既然阿喀琉斯沒有機會在x_i到x_(i+1)之間超過烏龜，而且阿喀琉斯永遠在某乙個x_i的後面，因此，阿喀琉斯沒有辦法超過烏龜。
所以得出結論：阿喀琉斯沒有辦法超過烏龜。
對於演繹推理來說，一般是如下的方法：
(p1) a
(p2) if a, then b
(c) b
那麼如果前提條件都是成立的，那麼結論一定會是成立的，但是，在有時候，結論很明顯是錯的，這時候悖論就產生了，這種情況下，基本上是因為乙個細微的前提條件出現了錯誤，才導致了結論的錯誤。
在這個問題上，步驟6是有問題的。
假設t_0=1/2，t_1=1/4，t_2=1/8……t_n=1/(2^(n+1))
那麼此時t_0+t_1+....+t_(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/(2^(n+1))<1
其實我們可以知道，1/2+1/4+1/8+.......=1
如何證明呢？
假設 s=1/2+1/4+1/8+....
那麼有(1/2)s= 1/4+1/8+....
那麼兩個式子相減，得到
1/2s=1/2
所以s=1
但是看下乙個例子
假設我們要求s=2+4+8+16+32....呢？
s= 2+4+8+16+32+....
(1/2)s=1+2+4+8+16+32+.....
兩個式子相減，得到
(1/2)s=-1
s=-2
這肯定有問題，可以看一下分解
當我們都取5個數時
式子1：
s=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32
s/2= 1/4+1/8+1/16+1/32+1/64
此時相減得s/2=1/2-1/64。
當項數增大時，1/64這一項會越來越小，一直到可以忽略。
對於式子2來說
s= 2+4+8+16+32
s/2=1+2+4+8+16
s/2=32-1
當項數越來越多時，32這一項也會越來越大，所以這是不能夠被忽略的。
唔，跑題了，回來。
一般的，既然阿喀琉斯跑的比烏龜快，所以假設阿喀琉斯的速度是烏龜的x倍，那麼t_i與t_(i+1)的關係就是x倍的關係。
所以，這時候t_0+t_1+....+t_n也會逐漸逼近乙個數，這個數就是阿喀琉斯追上烏龜的時間。
辛普森悖論
辛普森悖論 simpson s paradox 亦有人譯為辛普森詭論，為英國統計學家e.h.辛普森 e.h.simpson 於1951年提出的悖論，即在某個條件下的兩組資料，分別討論時都會滿足某種性質，可是一旦合併考慮，卻可能導致相反的結論。當人們嘗試 兩種變數是否具有相關性的時候，比如新生錄取率與...
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認識的悖論
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