假設線段的兩個端點分別為：a、b，另外一點為 p。
問題：判斷 p 點是否位於線段 ab 上。
方法1：通過線段確定的直線方程判斷。
(1) 在二維空間中，三點座標表示為：a(xa,ya), b(xb,yb), p(xp,yp)。
ab確定的直線方程（點斜式）為：
k = (yb - ya) * 1 / (xb - xa)
y = k * (x - xa) + ya
p點若位於直線上，首先應該滿足直線的方程：
yp = k * (xp - xa) + ya。
若上式成立，說明a、b、p共線，接下來只需判斷 p 位於 a 和 b 中間，即
(xa <= xb && xa <= xp <= xb) || (xa > xb && xa >= xp >= xb)
(ya <= yb && ya <= yp <= yb) || (ya > yb && ya >= yp >= yb)
注意到直線方程中有除法運算，需做一步ab是否重合的判斷，否則除數為零。上式稍作變形，便可去掉除法運算，即：
(y - ya) / (yb - ya) = (x - xa) / (xb - xa) 進而
(y - ya) * (xb - xa) - (yb - ya) * (x - xa) = 0。
上式成立的條件，(x,y)與a或b點重合，或者(x,y)、a、b三點共線。接下來再做 p 是否位於ab中間的判斷即可。
上述變形後的等式，其實表示的是二維平面中向量的一種運算：叉積（cross product），
a x b = xa*yb - ya*xb
由直線方程的啟示，不難理解叉積為零，則可判定兩向量共線或者乙個向量為零。
變形後的直線方程和向量的叉積是二維空間向三維空間推廣的基礎。
(2) 在三維空間中，三點座標分別為a(xa,ya,za), b(xb,yb,zb), p(xp,yp,zp)。
ab確定的直線方程相應變為：
(y - ya) / (yb - ya) = (x - xa) / (xb - xa) = (z - za) / (zb - za)。
按(1)中所述，將p點代入直線方程成立後，只需再多做一步 z 軸座標的判斷：
(za <= zb && za <= zp <= zb) || (za > zb && za >= zp >= zb)。
所有條件同時成立，則 p 點位於線段 ab 上。
三維空間中的叉積判斷就是接下來的方法2。
方法2:利用向量的叉積做判斷[3]。
二維空間中的叉積定義已經介紹，三維空間的描述可以參考「4」，叉積可以作為判定兩個向量是否共線的乙個工具，三維空間中的叉積結果會得到乙個新的向量。
先求得兩個向量：v1 = b - a, v2 = p - a。然後 v1 和 v2 做叉積：v = v1 x v2，如果 v 是零向量，即 v 的x、y、z分量都為 0，則v1 和 v2 至少有乙個為零或者兩個向量共線。
if v2 == 0，then p == a；
else if v1 == 0 then a == b and p doesn't lie in ab ; // v2 != 0
else p,a,b are colinear;
end如果判定共線後，接下來判斷 p 是否位於 ab 內的方式同方法1.
方法3:面積法。
如果a、b、p三點組成的三角形的面積為零，那麼可以得出三點共線的結論。
三角形面積可以使用海**式直接得出，另外上述v1和v2叉積得到的向量的長度的一半，也是三點組成的三角形的面積(參考叉積的定義)。
不過這兩種方式都涉及到開根號的運算，代價較高。
另外在判定了三點共線後，v1 和 v2 的夾角要麼0度，要麼180度，點積的符號可以用來確定p點的位置，如：v1 ・ v2 < 0。那麼，v1 和 v2 夾角為180，反向，p點位於ab之外。
接下來再以 b 點為基準做兩個向量v1』 = a - b, v2』 = p - b，若v1』 ・ v2』 > 0，即可斷定 p 位於線段ab上。
如果不以 b 為基準做兩個向量，可以通過長度來判斷，由內積的定義可以知道：
v1 ・ v2 = |v1| |v2| cos= |v1| |v2| cos(0) = |v1| |v2|。
如果v1 ・ v2 > |v1|*|v1| = v1 ・ v1 => |v2| > |v1|，即pa的長度大於ba，又pa和ba同向，那麼p點一定位於ab之外。
不過上述的點積判定符號的方法，包含了許多乘法的運算，進行座標比較的方法反而更加直接簡單。綜上所述，方法2更值得推薦。
參考：[1]
[2]
[3][4]
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