這是乙個三維空間中的平面問題(三角形確定乙個平面)，假設三角形的三個頂點為a(xa, ya, za)、b(xb, yb, zb)、c(xc, yc, zc)，另外乙個頂點為p(xp, yp, zp)。
問題：判斷頂點 p 是否位於abc組成的三角形上（內部和邊界）。
方法1：效率較低的方法。
(1) 利用面積判斷。如果頂點落在三角形上，那麼頂點p分別和abc三點連線後組成的三個小三角形的面積之和一定等於三角形abc的面積，否則p位於三角形abc之外。三角形面積的求法有海**式，叉積法等。
(2) 利用角度判斷。連線頂點p和三角形的三個頂點abc，每兩條邊的夾角之和如果等於 2*pi，則 p 位於三角形上，否則位於三角形外。兩個向量之間的夾角可以利用向量的點積來求，不過要求反三角函式。
方法2：同側檢測：判定頂點是否位於三角形三條邊的同側。
如果頂點p位於三角形的內部，那麼按順時針或者逆時針將三角形的三條邊形成的向量首尾相接(ab, bc, ca)，頂點p一定是位於三個向量的同側。如果頂點相對於三向量的位置發生了改變，比如逆時針時由左側變為了右側，則頂點一定位於三角形的外部。
如何判定頂點p位於向量的哪側呢？我們知道向量的叉積是乙個新的向量，具有方向。所以，通過向量叉積即可確定乙個頂點位於乙個向量的哪一側。
那麼又如何確定順時針還是逆時針呢？其實，不需考慮順時針還是逆時針。只要頂點 p 與三角形除卻判斷的向量(比如ab)外餘下的那個頂點(比如c)位於同一側，就可以判定p的相對位置。
接下來就是如何確定兩點位於乙個向量的同側？因為向量的點積可以確定兩個向量夾角的大小，當兩個向量的點積大於0時，夾角小於 pi/2，可認為同向，否則兩向量反向。於是，確定兩個頂點p、c是否位於線段ab同側的方法為：
構造三個向量：v1 = b - a，v2 = p - a，v3 = c - a；
判斷p、c相對於ab的方向，做叉積：vp = v1 x v2， vc = v3 x v1；
判斷vp、vc是否同向，做點積：d = vp ・ vc；
如果 d >= 0，說明叉積向量同向，進而推出p、c位於ab的同側。
最後，如果針對三角形的三條邊，p都和另外的乙個頂點同向的話，那麼p一定位於三角形上。
所以整個演算法的流程如下：
function sameside(p1,p2, a,b)演算法沒有開根號和反三角函式的求解，所以效率相對較高。cp1 = crossproduct(b-a, p1-a)
cp2 = crossproduct(b-a, p2-a)
if dotproduct(cp1, cp2) >= 0 then return true
else return false
function pointin********(p, a,b,c)
if sameside(p,a, b,c) and sameside(p,b, a,c) and sameside(p,c, a,b) then
return true
else
return false
方法3：重心法(barycentric technique)
在三角形確定的平面上的任意一點p，都可以使用乙個重心座標的形式來表示p的座標：
p = ua + vb + wc，u + v + w = 1；
消去w：
p - c = u(a - c) + v(b - c)
上式可以理解為，平面上的任意乙個向量都能表示成兩個不共線的向量的線性形式。如果p位於三角形上，那麼u、v需要滿足：
0 <= u, v <= 1 && u + v <= 1
為簡化書寫，我們做以下標記：
v2 = p - c, v0 = a - c, v1 = b - c 進而
v2 = u*v0 + v*v1
接下來就是求得u、v。因為v0、v1和v2是已知向量，可以直接利用座標來求解。但是三維空間中，可以得到三個(xyz)關於u、v的方程，而我們只需要兩個方程即可，如何選擇需要進一步的做些判斷，如果選擇方程組不合理可能無法解出u、v。
這裡有個避免上述選擇的做法，就是利用向量的點積，將向量轉化為實數，方程兩邊同時點積乙個向量：
(v2) ・ v0 = (u * v0 + v * v1) ・ v0
(v2) ・ v1 = (u * v0 + v * v1) ・ v1
進而 v2 ・ v0 = u * (v0 ・ v0) + v * (v1 ・ v0)
v2 ・ v1 = u * (v0 ・ v1) + v * (v1 ・ v1)
利用線性方程組的求解方法可以得到u、v：
u = ((v1・v1)(v2・v0)-(v1・v0)(v2・v1)) / ((v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0))
v = ((v0・v0)(v2・v1)-(v0・v1)(v2・v0)) / ((v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0))
此處，看到出現了除法，不能保證除數不等於0。可以分析什麼情況下除數為0，預先判斷即可。
(v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0) = 0
上式中如果 v0 或 v1 等於 0，則三角形便會退化成線段或者點的情況，這變成了點位於線段上的問題。
當v0、v1都不為0時，由內積公式，上式轉變為：
(v0・v1)(v0・v1) / ((v0・v0)(v1・v1))
= |v0|^2 * |v1|^2 * (cos)^2 / (|v0|^2 * |v1|^2)
= (cos)^2
= 1
進而可以知道：
= 0 或者 = pi
v0和v1的夾角無論是哪一種情況，都表示v0和v1是共線的。剩下的又變成了頂點是否位於線段上的問題。
當 (v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0) != 0 時，便可求解u、v，進而確定p相對於三角形的位置。
演算法的描述如下：
function pointin********(p, a,b,c)
v0 = a - c; v1 = b -c; v2 = p - c；
dot00 = dot(v0, v0); dot01 = dot(v0, v1); dot11 = dot(v1, v1);
invdemon = dot00 * dot11 - dot01 * dot01;
if (invdemon < epsilon && invdemon > -epsilon)
return pointinlinesegment(p, a, b) || pointinlinesegment(p, a, c) || pointinlinesegment(p, b, c)
invdemon = 1 / invdemon;
dot02 = dot(v0, v2); dot12 = dot(v1, v2);
u = (dot11*dot02 - dot01*dot12) * invdemon;
v = (dot00*dot12 - dot01*dot02) * invdemon;
return 0<= u、v <= 1 && u + v <= 1
頂點是否位於線段上的判定演算法pointinlinesegment，參看前篇博文。
重心法相較方法2中的同側比較運算要少，所以更高效些。詳細討論見[1].
參考：[1]
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