分類： 演算法筆記
2011-09-07 21:49
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舉報 一、紅黑樹的節點刪除
從紅黑樹上刪除乙個節點，可以先用普通二叉搜尋樹的方法，將節點從紅黑樹上刪除掉，然後再將被破壞的紅黑性質進行恢復。
我們回憶一下普通二叉樹的節點刪除方法：z指向需要刪除的節點，y指向實質結構上被刪除的結點，如果z節點只有乙個子節點或沒有子節點，那麼y就是指向z指向的節點。如果z節點有兩個子節點，那麼y指向z節點的後繼節點（其實前趨也是一樣的），而z的後繼節點絕對不可能有左子樹。因此，僅從結構來看，二叉樹上實質被刪除的節點最多隻可能有乙個子樹。
現在我們來看紅黑性質的恢復過程：
如果y指向的節點是個紅色節點，那麼直接刪除掉y以後，紅黑性質不會被破壞。操作結束。
如果y指向的節點是個黑色節點，那麼就有幾條紅黑性質可能受到破壞了。首先是包含y節點的所有路徑，黑高度都減少了一（第５條被破壞）。其次，如果y的有紅色子節點，y又有紅色的父節點，那麼y被刪除後，就出現了兩個相鄰的紅色節點（第４條被破壞）。最後，如果y指向的是根節點，而y的子節點又是紅色的，那麼y被刪除後，根節點就變成紅色的了（第２條被破壞）。
其中，第５條被破壞是讓我們比較難受的。因為這影響到了全域性。這樣動作就太大太複雜了。而且在這個條件下，進行其它紅黑性質的恢復也很困難。所以我們首先解決這個問題：如果不改變含y路徑的黑高度，那麼樹的其它部分的黑高度就必須做出相應的變化來適應它。所以，我們想辦法恢復原來含y節點的路徑的黑高度。做法就是把y節點的黑色，推到它的子節點x上去。（x可能是nil節點）。這樣，x就可能具有雙重黑色，或是同時具有紅黑兩色，也就是第１條性質被破壞了。
但第１條性質是比較容易恢復的：一、如果x是同時具有紅黑兩色，那麼好辦，直接把x塗成黑色，就行了。而且這樣把所有問題都解決了。因為將x變為黑色，２、４兩條如果有問題的話也會得到恢復。二、如果x是雙黑色，那麼我們希望把這種情況向上推一直推到根節點（調整樹結構和顏色，x的指向新的雙黑色節點，x不斷向上移動），讓根節點具雙黑色，這時，直接把x的一層黑色去掉就行了（因為根節點被包含在所有的路徑上，所以這樣做所有路徑同時黑高減少一，不會破壞紅黑特徵）。
下面就具體地分析如何恢復1、２、４三個可能被破壞的紅黑特性：我們知道，如果x指向的節點是有紅黑兩色，或是x是根節點時，只需要簡單的對x進行一些改變就行了。要對除x節點外的其它節點進行操作時，必定是這樣的情況：x節點是雙層黑色，且x有父節點p。由知可知，x必然有兄弟節點w，而且這個w節點必定有兩個子節點。（因為這是原樹滿足紅黑條件要求而自然具備的。x為雙黑色，那麼p的另乙個子節點以下一定要有至少兩層的節點，否則高黑度不可能和x路徑一致）。所以我們就分析這些節點之間如何變形，把問題限制在比較小的範圍內解決。另乙個前提是：x在一開始，肯定是樹底的葉節點或是nil節點，所以在遞迴向上的過程中，每一步都保證下一步進行時，至少 x的子樹是滿足紅黑特性的。因此子樹的情況就可以認為是已經正確的了，這樣，分析就只限制在x節點，x的父節點p，x的兄弟節點w，以及w的兩個子節點。這些個節點中。
w以及w的兩個子節點c1和c1的一共有五種組合，便有兩種情況的處理是一致的，因此調整的過程可以分以下四個情況：
第一種情況：w是紅色節點
如上圖，如果w是紅色的，那麼b和d節點進行一次左旋，並把d（也就是原來的w）著為黑色，b節點（x的父節點）著為紅色。然後讓w指向x的新兄弟。這樣，就把這種情況轉化為了w為黑色的情況來解決。在這個變形中，這五個節點之間保持了紅黑性質不變，而x指向的雙黑色節點的位置和顏色特性都沒有變化。變形後的情況如何解決呢？下面的都是w為黑色的問題，因此下面三種中總有一種會合適。
ps：有沒有其它變形呢？有，比如c和d進行右旋，b節點變為紅色，變形後五個節點紅黑正確的，但是這五個節點與樹的其它部分相接處可能會產生問題，這樣要考慮的因素就太多了。
第二種情況：w以及w的兩個子節點都是黑色的
如上圖，注意，b即可以是紅色也可以是黑色。
這種情況下，把d節點著成紅色。然後把x的乙個黑色推到父節點b中去，這時x就指向b節點了。變形前後，這五個節點間的黑高是沒有變化的。
唯一可能產生問題的就是如果b原來是紅色，那麼b和d兩個紅色相鄰就破壞了第４個性質，這樣新x的子樹就有問題了。這本來不符合我們向上遞迴的假設。但正好在這種情況下遞迴就可以結束了。因為b節點原來是紅色，現在雙加一層黑色，那麼x現在指向的這個節點就是紅黑兩色的，直接把x（也就是b）著為黑色。問題就已經完整解決了。
如果b節點現在是雙層黑色，那就以b為新的x進行向上的下一次的遞迴。
第三種情況：w的左子節點是紅色的且右子節點是黑色。
如上圖，b即可以是黑色也可以是紅色。
把c和d進行一次旋轉，改變c和d的顏色變形成新的結構。把問題轉化成w的右子節點為紅色的情況來解決。注意，原來c是紅色的，所以c的子節點一定是黑色的，所以旋轉中c節點的乙個子樹掛到之後著為紅色的d節點上不會破壞紅黑性質。變形後黑高度不變。
第四種情況：w的右子節點是紅色（左子節點可以是紅色或黑色）
如上圖，b節點可以是紅色或是黑色。
將b和d進行一次左旋，並交換兩者的顏色。再將e著為黑色。這時，只要將x的一層黑色脫去，整個問題也得到了解決。遞迴結束。（在**上，為了標識遞迴結束，我們把x指向根節點）
因此，只要按上面四種情況一直遞迴處理下去，x最終總會指向根結點或乙個紅色結點，這時我們就可以結束遞迴並把問題解決了。
參看文獻：
紅黑樹（刪除）
相對於紅黑樹插入操作，刪除操作複雜的多。第一 先看最簡單情況，即刪除紅色節點。刪除紅色節點，不影響紅黑樹平衡性質，如圖 只需要刪除紅色節點，不需要進行調整，因為不影響紅黑樹的性質。黑色節點沒有增多也沒有減少。注意 以下幾種單支情況在平衡的紅黑樹中不可能出現。因為上述的情況，紅黑樹處於不平衡狀態。破壞...
紅黑樹刪除
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