演算法
資料結構
二叉搜尋樹（binary search tree）是經過一定地組織形成的有特定結構特徵的二叉樹，支援各種動態集合（dynamic set）操作（如insert、delete、maximum、minimum等等）。這些操作的時間複雜度與樹的高度成正比。一棵有n個節點的完全二叉樹（complete binary tree）的高度不超過lgn。因此，對於完全二叉樹的這些操作的最壞時間複雜度（worst-case time）為o(lgn)。但極端病態的二叉樹，形狀就與鍊錶是一樣的，那麼，各項操作的最壞時間複雜度將變為o(n)。
由隨機輸入資料構建的二叉搜尋樹的期望高度是o(lgn)，也有一些經過更加複雜的構造規則而得到的二叉查詢樹（如紅黑樹、b樹等），對於一般的輸入都可以保持o(lgn)的期望高度。
二叉搜尋樹的結構特徵是：對於乙個節點x，它的鍵值為key[x]，那麼x的左子樹中的任何乙個節點的鍵值，都不會大於key[x]，x的右子樹中的任何乙個節點的鍵值都不會小於key[x]。
用c**進行實現乙個二叉搜尋樹，樹的節點只儲存int型的鍵值，並實現動態集合的基本操作，作為練習應該是ok了，呵呵。
先定義一些基本的結構，像樹的節點、對節點的基本操作，用於取節點的左右子節點和父節點、以及乙個樹「物件」：
cpp**
// 樹節點
typedef
struct
tagbstreenode bstreenode, *pbstreenode;
#define getleft(pnode) (pnode->left) // 左子節點
#define getright(pnode) (pnode->right) // 右子節點
#define getparent(pnode) (pnode->parent) // 父節點
// 二叉查詢樹「物件」
typedef
struct
tagbstree bstree, *pbstree;
二叉搜尋樹的節點插入操作
將乙個節點插入二叉搜尋樹，且要保持二叉搜尋樹的結構特徵，關鍵是要找到合適插入的位置。
所以，插入操作時，先進行位置地查詢，方法是從根開始，比較要插入的節點的鍵值與樹中的每乙個節點的鍵值，如果大於該節點，則下乙個比較的位置移到該節點的右子節點。否則，下乙個比較的位置移到該節點的左子節點上。這樣一直比較到樹的最「底下」的節點x（葉節點）。然後視鍵值，把需要插入的節點設定為 x的左子點，或是右子節點。**如下：
cpp**
void
tree_insert(pbstree ptree, pbstreenode pnode)
pnode->parent = pparent;
if(null == pparent)
else
else
} }
最大值與最小值。
對於二叉搜尋樹，很容易找到最大值和最小值。只需要從根節點開始，不斷地向左子節點移到，到葉子，就是最小值。從根節點開始，不斷地向右子節點移到，到葉子，就是最大值。
cpp**
pbstreenode tree_max(pbstreenode proot)
return
proot;
} pbstreenode tree_min(pbstreenode proot)
return
proot;
}
直接前趨
節點x的直接前趨節點y，就在樹中，鍵值比x小，但又最接近x的節點。
如果找到直接前趨節點呢？
１．首先，如果節點x有左子節點，那麼，x的直接前趨節點y一定是以x的左子節點為根的子樹中的最大鍵值節點。
證明，如下圖，圖中從x節點向上的路徑可能出現的兩種情況，我們稱1是向左，２是向右。
設x是黑色節點。從x向樹的上方攀登，只要是沿著右方向到達的節點（如果圖中2），都是鍵值比x大的節點（根據二叉查詢樹的性質，左子樹中的任何節點都小於根嘛），所以這些節點不可能是x的前趨（因為前趨節點的鍵值是小於x的）。如果沿著左方向到達的節點（如圖中1），那這個節點的鍵值確實比x的鍵值小，但是，它也絕不可能是x的直接前趨，因為x以及x的子節點，都是這個節點（z）的右子樹中的節點，所以z的鍵值一定小於x的左子樹中的任何乙個節點的鍵值，那麼它就失去作為x直接前趨的資格了（因為直接前趨是應該是鍵值最接近x的嘛）。對稱地，x是父節點的右節點時，情況也是一樣的。所以可以得出結論，如果節點x有左子節點，那麼x的直接前趨節點y一定是以x的左子節點為根的子樹中的最大鍵值節點。
２．如果x沒有左子樹呢？那麼，從上面的分析可知，x的直接前趨就一定是從x向上的路徑中，第一次「左」轉時的節點z。如果向上直到根節點的路徑都是右方向的，那麼這個x節點就沒有直接前趨節點了（也就是x是這二叉查詢樹最小的節點）。
直接後繼
直接後繼就只給出結論了：如果節點x有右子節點，那麼，x的直接前趨節點y一定是以x的左子節點為根的子樹中的最小鍵值節點。如果沒有右子節點，那麼x的直接後繼節點就是從x向上的路徑中第一次右轉時的節點。
證明與直接前趨是對稱的。
cpp**
pbstreenode tree_successor(pbstreenode proot)
pbstreenode pparent = getparent(proot);
while
((null != pparent) && (proot == getright(pparent)))
return
pparent;
} pbstreenode tree_predecessor(pbstreenode proot)
pbstreenode pparent = getparent(proot);
while
((null != pparent) && (proot == getleft(pparent)))
return
pparent;
}
查詢
其實二叉查詢樹的查詢，應該很容易理解了，就是讓x指向根，比較x的鍵值是否與要找的鍵值相等，是，那麼x就要找的節點，如果不是，那麼x就根據值的大小向左或向右移動，以此不斷地向下，直到樹的末尾。
cpp**
pbstreenode tree_search(pbstreenode proot,
intval_key)
return
proot;
}
刪除：
刪除乙個節點，最重要的也是想辦法在刪除動作後，仍然保持二叉查詢樹的特徵。
當然，我們會想用最容易的方法來保持它（複雜的話，就成有名有姓的樹了，像紅黑樹，在保證這二叉查基本特徵時，還維持了一些其它的特性，那就複雜鳥）。分三種情況：
１．如果被刪除的節點沒有子樹，好說，直接刪除就可以了，對二叉搜尋樹的基本特徵沒有任何影響。
２．如果被刪除的節點，只有乙個子樹呢？也好說，把那唯一的子樹掛到需要刪除節點的父節點上相應的子樹位置，然後刪除掉需要刪除的節點。也不會對二叉樹的基本特徵產生不良影響。
３．如果被刪除節點有兩個子樹呢？那就不好辦了，關鍵是要保住樹的基本性質不動搖，呵呵。怎麼辦呢？
我想，先化為已經解決的問題，那不就好辦了嗎？hoho，１和２是已經解決的，那麼化為１或２來解決嘛。設要刪除的子節點是x，那麼我們隨意選取乙個子樹，從底部開始，把這子樹上所有的節點，乙個乙個從樹上「摘下來」，存著。然後x就成為乙個只有一顆子樹的節點，然後就適用第２種情況啦。刪除完x後，再把存著的那些節點重新插入到樹上，不就得了。呵呵，笨辦法，但我確實這麼想過。
再想想其它辦法。要想不影響樹的特性，那麼最簡單的想法是如果能只動x以及x以下的節點，那麼樹的其它部分肯定是ok的。那只要處理x以及x的子樹就行了。想想，如果能在子樹中找乙個節點來替代x的位置，並保證新的子樹也是滿足二叉查詢樹要求的，這樣改動量可能就比較小了。那麼找哪個節點來代替它呢？當然是鍵值最接近x的，這樣二叉樹的特徵就比較容易保持嘛。鍵值最接近x的，上面已經說過了，就是直接前趨和直接後繼。正好，對於有兩個子樹的x來說，它的直接前趨和直接後繼都是在它的子樹中的，分別是左子樹的最大值、右子樹的最小值。而且，從子樹中取下這兩個節點（取下來幹嘛？代替需要刪除的x節點唄），也是比較容易的，因為「最大」「最小」值節點，最多擁有不超過乙個子節點（不然它絕對不夠格做最大或最小）。而沒有子節點和只有乙個子節點的節點刪除，是我們已經會啦~~~。好，那麼就取前趨或後繼就來代替需要刪除的節點，問題就解決了。
cpp**
pbstreenode tree_delete(pbstree ptree, pbstreenode pdel)
else
pbstreenode pchildofdel;
pchildofdel = (getleft(preldel)!= null ? getleft(preldel) : getright(preldel));
if(pchildofdel != null)
if(null == getparent(preldel))
else
else
} if(preldel != pdel)
return
preldel;
}
演算法導論 二叉搜尋樹
搜尋樹資料結構支援許多動態集合操作，包括search minimum maximum predecessor successor insert和delete等。因此，我們使用一棵搜尋樹既可以作為乙個字典又可以作為乙個優先佇列。二叉搜尋樹上的基本操作所花費的時間與這棵樹的高度成正比。對於乙個有n個結點...
演算法導論二叉搜尋樹
兩天寫完的，沒有認認真真的測試，可能有些bug，自己測試的資料能過，但是我的初始化有些問題，不知道該怎麼表示 二叉搜尋樹 include include using namespace std struct node void inorder search node root1 node tree ...
演算法導論筆記 12二叉搜尋樹
1 概念 二叉搜尋樹也叫二叉排序樹，它支援的操作有 search,minimum,maximum,predecessor,successor,insert,delete。所以，一顆二叉搜尋樹既可以作為乙個字典，又可以作為乙個優先佇列。二叉搜尋樹的基本操作時間與這棵樹的高度成正比。二叉搜尋樹的高度可以...