日常 關於求素數

2021-06-06 19:43:38 字數 1709 閱讀 7913

素數是除了1和它本身之外再不能被其他數整除的自然數。由於找不到乙個通項公式來表示所有的素數,所以對於數學家來說, 素數一直是乙個未解之謎。像著名的 哥德**猜想、孿生素數猜想,幾百年來不知吸引了世界上多少優秀的數學家。儘管他們苦心鑽研,嘔心瀝血,但至今仍然未見分曉。

自從有了計算機之後,人們借助於計算機的威力,已經找到了2

216091

以內的所有素數。

求素數的方法有很多種,最簡單的方法是根據素數的定義來求。對於乙個自然數n,用大於1小於n的各個自然數都去除一下n,如果都除不盡,則n為素數,否則n為合數。

但是,如果用素數定義的方法來編制電腦程式,它的效率一定是非常低的,其中有許多地方都值得改進。

第一,對於乙個自然數n,只要能被乙個非1非自身的數整除,它就肯定不是素數,所以不

必再用其他的數去除。

第二,對於n來說,只需用小於n的素數去除就可以了。例如,如果n能被15整除,實際

上就能被3和5整除,如果n不能被3和5整除,那麼n也決不會被15整除。

第三,對於n來說,不必用從2到n一1的所有素數去除,只需用小於等於√n(根號n)的所有素數去除就可以了。這一點可以用反證法來證明:

如果n是合數,則一定存在大於1小於n的整數d1和d2,使得n=d1×d2。

如果d1和d2均大於√n,則有:n=d1×d2>√n×√n=n。

用篩法求素數。

簡單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數學家,他在尋找素數時,採用了一種與眾不同的方法:先將2-n的各數寫在紙上:

在2的上面畫乙個圓圈,然後劃去2的其他倍數;第乙個既未畫圈又沒有被劃去的數是3,將它畫圈,再劃去3的其他倍數;現在既未畫圈又沒有被劃去的第乙個數 是5,將它畫圈,並劃去5的其他倍數……依次類推,一直到所有小於或等於n的各數都畫了圈或划去為止。這時,表中畫了圈的以及未劃去的那些數正好就是小於 n的素數。

這很像一面篩子,把滿足條件的數留下來,把不滿足條件的數篩掉。由於這種方法是厄拉多塞首先發明的,所以,後人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。

在計算機中,篩法可以用給陣列單元置零的方法來實現。具體來說就是:首先開乙個陣列:a[i],i=1,2,3,…,同時,令所有的陣列元素都等於下標 值,即a[i]=i,當i不是素數時,令a[i]=0 。當輸出結果時,只要判斷a[i]是否等於零即可,如果a[i]=0,則令i=i+1,檢查下乙個a[i]。

篩法是計算機程式設計中常用的演算法之一。

#includeusing namespace std;

#define range 2000

int main()

; int prime[range/2];

num[0] = num[1] = -1;

int i, j, cnt;

for(i=2, cnt=0;i用6n±1法求素數。

任何乙個自然數,總可以表示成為如下的形式之一:

6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5 (n=0,1,2,…)

顯然,當n≥1時,6n,6n+2,6n+3,6n+4都不是素數,只有形如6n+1和6n+5的自然數有可能是素數。所以,除了2和3之外,所有的素數都可以表示成6n±1的形式(n為自然數)。

根據上述分析,我們可以構造另一面篩子,只對形如6 n±1的自然數進行篩選,這樣就可以大大減少篩選的次數,從而進一步提高程式的執行效率和速度。

在程式上,我們可以用乙個二重迴圈實現這一點,外迴圈i按3的倍數遞增,內迴圈j為0-1的迴圈,則2(i+j)-1恰好就是形如6n±1的自然數。

素數篩法求素數

素數篩類似於打表標記,預先處理掉非素數的數,即素數的倍數 任意非素數都可以由幾個素數相乘得到 於是效率比暴力求解快得多。埃氏篩法的效率為o n loglog n 簡單易懂,但是會重複標記,比如當i為2時,6會被標記掉,然而當i為3時,6又會被重複標記,這樣的重複訪問加大了時間複雜度,於是有了尤拉篩。...

如何求素數

1。自然數是0,1,2 2。素數是2,3,5 不包括1的只能背1和它本身整除的自然數 public class test s i system.out.println 第 i 個素數是 n return s public static void main string args 求10000以內的所...

求素數問題

源 為 includevoid main if k 0 cout include void main if flag 如果執行這個if語句,說明flag為1,也即是說,上面的for迴圈中的if語句一直沒有被執行到,即這個數是素數,那麼,就可以把它輸出了 printf d n a 這裡很重要的就是br...