桌上排列著100個球,兩個人輪流拿球裝入口袋,能拿到第100個球的人為勝利者,條件是:拿球者每次至少要拿1個但最多不能超過五個,
問:如果你是先拿球的人,以後不管怎麼都能保證你能得到第100個球,你個先拿幾個?然後怎麼拿?為什麼?
解題思路:
1、我們不妨逆向推理,如果只剩6個桌球,讓對方先拿球,你一定能拿到第6個桌球。理由是:如果他拿1個,你拿5個;如果他拿 2個,你拿4個;如果他拿3個,你拿3個;如果他拿4個,你拿2個;如果他拿5個,你拿1個。
2、我們再把100個桌球從後向前按組分開,6個桌球一組。100不能被6整除,這樣就分成17組;第1組4個,後16組每組6個。
3、這樣先把第1組4個拿完,後16組每組都讓對方先拿球,自己拿完剩下的。這樣你就能拿到第16組的最後乙個,即第100個桌球。
參***: 先拿4個,他拿n個,你拿6-n,依此類推,保證你能得到第100個桌球。
試題擴充套件:
1、假設排列著100個桌球,由兩個人輪流拿球裝入口袋,能拿到第100個桌球的人為勝利者。條件是:每次拿球者至少要拿2個,但最多不能超過7個,問:如果你是最先拿球的人,你該拿幾個?以後怎麼拿就能保證你能得到第100個桌球?
(先拿1個,他拿n個,你拿9-n,依此類推)
2、假設排列著x個桌球,由兩個人輪流拿球裝入口袋,能拿到第x個桌球的人為勝利者。條件是:每次拿球者至少要拿y個,但最多不能超過z個,問:如果你是最先拿球的人,你該拿幾個?以後怎麼拿就能保證你能得到第x個桌球?
(先拿x/(y+z)的餘數個,他拿n個,你拿(y+z)-n,依此類推。當然必須保證x/(y+z) 的餘數不等於0)
a,b從一堆玻璃球(共100個)裡向外拿球,規則如下:
(1)a先拿,然後一人一次交替著拿;
(2)每次只能拿1個或2個或4個;
(3)誰拿最後乙個球,誰就是最後的失敗者;
問a,b誰將是失敗者?寫出你的判斷步驟。
a拿1個,b拿2個,
a拿2個,b拿4個,
a拿4個,b拿2個,
若 b拿球的數目m,前一次a拿球數n,m+n=3或者6
100 = 31*3 + 1;100=16*6+4;
100-(3x+6y)餘數為1 //x為a,b拿球一回合總數為3的次數
//y為a,b拿球一回合總數為6的次數
最後只剩乙個球了,此時,該a拿,所以a必輸;
最後一回合:
最後乙個要麼1個球,要麼4個球,此時,a先拿。
a要麼拿1或4個,立刻失敗;要麼a拿2個,b則拿1個,還是a失敗;
所有:先拿的必敗。
作業 拿球問題
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