4d向量和4x4矩陣不過是對3d運算的一種方便的記憶而已。
4d齊次空間
4d向量有4個分量，前3個是標準的x，y和z分量，第4個是w，有時稱作齊次座標。
為了理解標準3d座標是怎樣擴充套件到4d座標的，讓我們先看一下2d中的齊次座標，它的形式為（x, y, w）。想象在3d中w=1處的標準2d平面，實際的2d點(x, y)用齊次座標表示為(x, y, 1)，對於那些不在w=1平面上的點，則將它們投影到w=1平面上。所以齊次座標(x, y, w) 對映的實際2d點為（x/w, y/w）。如圖9.2所示：
因此，給定乙個2d點（x, y），齊次空間中有無數多個點與之對應。所有點的形式都為(kx, ky, k)，k≠0。這些點構成一條穿過齊次原點的直線。
當w=0時，除法未定義，因此不存在實際的2d點。然而，可以將2d齊次點(x, y, 0)解釋為"位於無窮遠的點"，它描述了乙個方向而不是乙個位置。
4d座標的基本思想相同，實際的3d點被認為是在4d中w=1"平面"上。4d點的形式為(x, y, z, w)，將4d點投影到這個"平面"上得到相應的實際3d點（x/w, y/w, z/w）。w=0時4d點表示"無限遠點"，它描述了乙個方向而不是乙個位置。
4 x 4 平移矩陣
3x3變換矩陣表示的是線性變換，不包括平移。因為矩陣乘法的性質，零向量總是變換成零向量。因此，任何能用矩陣乘法表達的變換都不包含平移。這很 不幸，因為矩陣乘法和它的逆是一種非常方便的工具，不僅可以用來將複雜的變換組合成簡單的單一變換，還可以操縱嵌入式座標系間的關係。如果能找到一種方法 將3x3變換矩陣進行擴充套件，使它能處理平移，這將是一件多麼美妙的事情啊。4x4矩陣恰好提供了一種數學上的"技巧"，使我們能夠做到這一點。
暫時假設w總是等於1。那麼，標準3d向量[x, y, z]對應的4d向量為[x, y, z, 1]。任意3x3變換矩陣在4d中表示為：
任意乙個形如[x, y, z, 1]的向量乘以上面形式的矩陣，其結果和標準的3x3情況相同，只是結果是用w=1的4d向量表示的：
現在，到了最有趣的部分。在4d中，仍然可以用矩陣乘法來表達平移，如公式9.10所示，而在3d中是不可能的：
記住，即使是在4d中，矩陣乘法仍然是線性變換。矩陣乘法不能表達4d中的"平移"，4d零向量也將總是被變換成零向量。這個技巧之所以能在3d中 平移點是因為我們實際上是在切變4d空間。與實際3d空間相對應的4d中的"平面"並沒有穿過4d中的原點。因此，我們能通過切變4d空間來實現3d中的 平移。
設想沒有平移的變換後接乙個有平移的變換會發生什麼情況呢？設r為旋轉矩陣（實際上，r還能包含其他的3d線性變換，但現在假設r只包含旋轉），t為形如公式9.10的變換矩陣：
將向量v先旋轉再平移，新的向量v'計算如下：
v'=vrt
注意，變換的順序是非常重要的。因為我們使用的是行向量，變換的順序必須和矩陣乘法的順序相吻合（從左到右），先旋轉後平移。
和3x3矩陣一樣，能將兩個矩陣連線成單個矩陣，記作矩陣m，如下：
ｍ=rt
v'=vrt=v(rt) =vm
觀察m的內容：
注意到，m的上邊3x3部分是旋轉部分，最下一行是平移部分。最右一列為[0, 0, 0, 1]t。逆向利用這些資訊，能將任意4x4矩陣分解為線性變換部分和平移部分。將平移向量[△x, △y, △z]記作t，則m可簡寫為：
接下來看w=0所表示的 "無窮遠點"。它乘以乙個由"標準"3x3變換矩陣擴充套件成的4x4矩陣（不包含平移），得到：
換句話說，當乙個形如[x, y, z, 0]的無窮遠點乘以乙個包含旋轉、縮放等的變換矩陣，將會發生預期的變換。結果仍是乙個無窮遠點，形式為[x, y, z, 0]。
乙個無窮遠點經過包含平移的變換可得到：
注意到結果是一樣的（和沒有平移的情況相比）。換句話說，4d向量中的w分量能夠"開關" 4x4 矩陣的平移部分。這個現象是非常有用的，因為有些向量代表「位置」，應當平移，而有些向量代表「方向」，如表面的法向量，不應該平移。從幾何意義上說，能 將第一類資料當作"點"，第二類資料當作"向量".
使用4x4矩陣的乙個原因是4x4變換矩陣能包含平移。當我們僅為這個目的使用4x4矩陣時，矩陣的最後一列總是[0, 0, 0, 1]t。既然是這樣，為什麼不去掉最後一列而改用4x3矩陣呢？根據線性代數法則，由於多種原因，4x3矩陣不符合我們的需求，如下：
（1）不能用乙個4x3矩陣乘以另乙個4x3矩陣。
（2）4x3矩陣沒有逆矩陣，因為它不是乙個方陣。
（3）乙個4d向量乘以4x3矩陣時，結果是乙個3d向量。
為了嚴格遵守線性代數法則，我們加上了第4列。當然在**中，可以不受代數法則的約束。
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正交矩陣的運算法則 若方陣m是正交的，則當且僅當m與它轉置矩陣mt的乘積等於單位矩陣，見公式9.8 矩陣乘以它的逆等於單位矩陣 m m 1 i 所以，如果乙個矩陣是正交的，那麼它的轉置等於它的逆 這是一條非常有用的性質，因為在實際應用中經常需要計算矩陣的逆，而3d圖形計算中正交矩陣出現又是如此頻繁。...
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矩陣的逆 另外一種重要的矩陣運算是矩陣的求逆，這個運算只能用於方陣。運算法則 方陣m的逆，記作m 1，也是乙個矩陣。當m與m 1相乘時，結果是單位矩陣。表示為公式9.6的形式 並非所有的矩陣都有逆。乙個明顯的例子是若矩陣的某一行或列上的元素都為0，用任何矩陣乘以該矩陣，結果都是乙個零矩陣。如果乙個矩...