3D數學 矩陣的更多知識（1）

矩陣的行列式

在任意方陣中都存在乙個標量，稱作該方陣的行列式。

線性運算法則

方陣m的行列式記作|m|或「detm」，非方陣矩陣的行列式是未定義的。n x n階矩陣的行列式定義非常複雜，讓我們先從2 x 2，3 x 3矩陣開始。

公式9.1給出了2 x 2階矩陣行列式的定義：

注意，在書寫行列式時，兩邊用豎線將數字塊圍起來，省略方括號。

下面的示意圖能幫助記憶公式9.1，將主對角線和反對角線上的元素各自相乘，然後用主對角線元素的積減去反對角線元素的積。

3 x 3 階矩陣的行列式定義如公式9.2所示：

可以用類似的示意圖來幫助記憶。把矩陣m連寫兩遍，將主對角線上的元素和反對角線上的元素各自相乘，然後用各主對角線上元素積的和減去各反對角線上元素積的和。

如果將3 x 3階矩陣的行解釋為3個向量，那麼矩陣的行列式等於這些向量的所謂「三元組積」。

假設矩陣m有r行c列，記法m表示從m中除去第i行和第j列後剩下的矩陣。顯然，該矩陣有r-1行，c-1列，矩陣m稱作m的余子式。

對方陣m，給定行、列元素的代數余子式等於相應余子式的有符號行列式，見公式9.3：

如上，用記法cij表示m的第i行，第j列元素的代數余子式。注意余子式是乙個矩陣，而代數余子式是乙個標量。代數余子式計算式中的項(–1)(i+j)有以棋盤形式使矩陣的代數余子式每隔乙個為負的效果：

n維方陣的行列式存在著多個相等的定義，我們可以用代數余子式來定義矩陣的行列式（這種定義是遞迴的，因為代數余子式本身的定義就用到了矩陣的行列式）。

首先，從矩陣中任意選擇一行或一列，對該行或列中的每個元素，都乘以對應的代數余子式。這些乘積的和就是矩陣的行列式。例如，任意選擇一行，如行i，行列式的計算過程如公式9.4所示：

下面舉乙個例子，重寫3x3矩陣的行列式：

綜上，可匯出4x4矩陣的行列式：

高階行列式計算的複雜性是呈指數遞增的。幸運的是，有一種稱作」主元選擇「的計算方法，它不影響行列式的值，但它能使特定的行或列中除了乙個元素（主元）外其他元素全為0，這樣僅乙個代數余子式需要計算。

行列式的一些重要性質：

（1）矩陣積的行列式等於矩陣行列式的積：|ab| = |a||b|

這可以擴充套件到多個矩陣：  |m1 m2 ... mn| = |m1| |m2| ... |mn-1| |mn|

（2）矩陣轉置的行列式等於原矩陣的行列式：|mt| = |m|

（3）如果矩陣的任意行或列全為0，那麼它的行列式等於0.

（4）交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負。

（5）任意行或列的非零積加到另一行或列上不會改變行列式的積。

幾何解釋

矩陣的行列式有著非常有趣的幾何解釋。2d中，行列式等於以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積（如圖9.1所示）。有符號面積是指如果平行四邊形相對於原來的方位」翻轉「，那麼面積變負。

3d中，行列式等於以變換後的基向量為三邊的平行六面體的有符號的體積。3d中，如果變換使得平行六面體」有里向外「翻轉，則行列式變負。

行列式與矩陣變換導致的尺寸改變相關，其中行列式的絕對值與面積（2d）、體積（3d）的改變相關，行列式的符號說明了變換矩陣是否包含映象或投影。

矩陣的行列式還能對矩陣所代表的變換進行分類。如果矩陣的行列式為0，那麼該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負，那麼該矩陣包含映象。

摘自 

3D數學 矩陣的更多知識（1）

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