程式設計師面試題精選(14)－圓圈中最後剩下的數字
題目：n個數字（0,1,…,n-1）形成乙個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈中刪除第m個數字（第乙個為當前數字本身，第二個為當前數字的下乙個數字）。當乙個數字刪除後，從被刪除數字的下乙個繼續刪除第m個數字。求出在這個圓圈中剩下的最後乙個數字。
分析：既然題目有乙個數字圓圈，很自然的想法是我們用乙個資料結構來模擬這個圓圈。在常用的資料結構中，我們很容易想到用環形列表。我們可以建立乙個總共有m個數字的環形列表，然後每次從這個列表中刪除第m個元素。
在參考**中，我們用stl中std::list來模擬這個環形列表。由於list並不是乙個環形的結構，因此每次跌代器掃瞄到列表末尾的時候，要記得把跌代器移到列表的頭部。這樣就是按照乙個圓圈的順序來遍歷這個列表了。
這種思路需要乙個有n個結點的環形列表來模擬這個刪除的過程，因此記憶體開銷為o(n)。而且這種方法每刪除乙個數字需要m步運算，總共有n個數字，因此總的時間複雜度是o(mn)。當m和n都很大的時候，這種方法是很慢的。
接下來我們試著從數學上分析出一些規律。首先定義最初的n個數字（0,1,…,n-1）中最後剩下的數字是關於n和m的方程為f(n,m)。
在這n個數字中，第乙個被刪除的數字是m%n-1，為簡單起見記為k。那麼刪除k之後的剩下n-1的數字為0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，並且下乙個開始計數的數字是k+1。相當於在剩下的序列中，k+1排到最前面，從而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。該序列最後剩下的數字也應該是關於n和m的函式。由於這個序列的規律和前面最初的序列不一樣（最初的序列是從0開始的連續序列），因此該函式不同於前面函式，記為f』(n-1,m)。最初序列最後剩下的數字f(n,m)一定是剩下序列的最後剩下數字f』(n-1,m)，所以f(n,m)=f』(n-1,m)。
接下來我們把剩下的的這n-1個數字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作乙個對映，對映的結果是形成乙個從0到n-2的序列：
k+1 -> 0
k+2 -> 1
…n-1 -> n-k-2
0 -> n-k-1
…k-1 -> n-2
把對映定義為p，則p(x)= (x-k-1)%n，即如果對映前的數字是x，則對映後的數字是(x-k-1)%n。對應的逆對映是p-1(x)=(x+k+1)%n。
由於對映之後的序列和最初的序列有同樣的形式，都是從0開始的連續序列，因此仍然可以用函式f來表示，記為f(n-1,m)。根據我們的對映規則，對映之前的序列最後剩下的數字f』(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f』(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。
經過上面複雜的分析，我們終於找到乙個遞迴的公式。要得到n個數字的序列的最後剩下的數字，只需要得到n-1個數字的序列的最後剩下的數字，並可以依此類推。當n=1時，也就是序列中開始只有乙個數字0，那麼很顯然最後剩下的數字就是0。我們把這種關係表示為：
0 n=1
f(n,m)=
// remove the mth integer. note that std::list is not a circle
// so we should handle it manually
list::iterator nextinteger = ++ curinteger;
if(nextinteger == integers.end())
nextinteger = integers.begin();
-- curinteger;
integers.erase(curinteger);
curinteger = nextinteger;
}return *(curinteger);
}思路二的參考**：
///// n integers (0, 1, ... n - 1) form a circle. remove the mth from
// the circle at every time. find the last number remaining
// input: n - the number of integers in the circle initially
// m - remove the mth number at every time
// output: the last number remaining when the input is valid,
// otherwise -1
///int lastremaining_solution2(int n, unsigned int m)
如果對兩種思路的時間複雜度感興趣的讀者可以把n和m的值設的稍微大一點，比如十萬這個數量級的數字，執行的時候就能明顯感覺出這兩種思路寫出來的**時間效率大不一樣。
程式設計師面試題精選 14 圓圈中最後剩下的數字
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