這幾天有一道google的面試題在論壇炒得很火，題目如下：「有乙個100層高的大廈，你手中有兩個相同的玻璃圍棋子。從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎，用你手中的這兩個玻璃圍棋子，找出乙個最優的策略，來得知那個臨界層面。」下面給出我的分析和解答。
為了得到兩個棋子的最優策略，我們先簡化問題，看看乙個棋子的情況。如果手中只有乙個棋子，為了得知臨界層面，你只有一種選擇：從2樓開始，一層一層地試，直到棋子被打碎，此時你站的樓層就是所求的臨界層面。在最差的情況下，我們需要投擲99-2+1=98次，你可能奇怪為什麼不是100-2+1=99次，那是因為題目已經告訴我們「從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎」，所以在99層扔下來還沒碎的話就不用去100層了——從那裡扔它一定會碎。
從乙個棋子的策略我們可以看出，乙個棋子就足以解答這個問題了。現在又多了乙個棋子，該如何利用它呢？很自然地，我們希望能通過這個棋子縮小這種一層一層查詢的範圍。為了縮小範圍，我們將整個大廈的層數分成x段，在這x段中查詢那個臨界段，然後在臨界段中再一層一層地找臨界層。比如可以將大樓分成4段，我們分別在25層、50層、75層投擲棋子，以確定臨界段；如果臨界段在25層到50層，我們再從26層開始一層一層查詢臨界層。
分析到這裡，問題就轉化成了如何確定分段數x使棋子投擲的次數最少的問題。在最差的情況下，要確定臨界段，我們需要投擲100/x-1次；確定了臨界段之後要確定臨界層，我們需要再投擲x-1次。因此，問題就成了求函式f(x)=(100/x-1)+(x-1)的最小值問題。先對f(x)求導，f』(x)=1-100/x2，令f』(x)=0求出駐點x=10(x=-10捨去)。由於f(x)存在最小值且只有乙個駐點，所以當x=10時f(x)取得最小值，最小值為18。這樣就解答了這個問題。
其實10這個結果也很容易直接看出來。在只有乙個棋子時，我們相當於把整個大廈分成了一段，這一段有100層。在有兩個棋子時，我們有很多分法，但無論怎麼分，如果分成k1段，每段有k2層，那麼就有k1k2=100。在最壞的情況下，我們需要投擲(k1-1)+(k2-1)次。因此問題也可以表述成在k1k2=100的條件約束下，如何讓函式f(k1,k2)= k1+k2最小。在初等數學中，我們知道在矩形面積一定的情況下，正方形的周長最小。利用這個結論，我們可以直接得出結論k1=k2=10。
現在問題已經完滿解決，但我還想把這個問題擴充套件一下，把它變成「m層樓n個棋子」的情況。首先來看這樣乙個問題，給定m層樓，多少個棋子就「足夠」了，也就是說，再多的棋子也不能加快查詢的過程。在我所能想到的方法裡，二分法應該是最優的，如果按二分法來查詢，則需要ceiling(log2m)個棋子（ceiling是向上取整函式），超過這個數再多的棋子也無益。
如果n>=ceiling(log2m)，那就採用二分法，現在考慮n< ceiling(log2m)的情況。前面已經看到，當n=2時，問題可以表述成在k1k2=100的條件約束下，求函式f(k1,k2)= k1+k2的最小值。類似地，在n個棋子的情況下，問題可以表述成在k1k2…kn=m的條件約束下，求函式f(k1,k2,…,kn)=k1+k2+…+kn的最小值。利用拉格朗日乘數法，我們可以很容易地求出：當k1=k2=…=kn=n√m時，這個多元函式取得最值。n√m有可能不是整數，因此這只是乙個理論上的結果。
我們換乙個思路考慮，m層樓n個棋子的問題其實就是如何將m分解成n個因子相乘，從而讓各個因子之和最小。如何分解m使得策略最優就成了問題的關鍵。前面得出的結論提示我們盡量讓各個因子相等或者相差較小，它們相加的結果才會較小。比如，100層樓3個棋子的情況，5，5，4應該是乙個最優的選擇。
考慮到這裡，又有乙個問題出現了：是不是將m分解的越多越好呢？比如，將100分解成10，10好呢，還是2，5，10好？這個問題其實就是在問，兩個大於1的整數，它們的和大呢還是積大。很明顯，當然是積大，因此將m分解的越多越好。
數論告訴我們，質數是整數的基礎，所有整數都可以分解成若干個質數的乘積。因此，如果將上面的方法發揮到極致，那就要求我們把m分解成質數的乘積。當然，如果棋子足夠多，這並不是最優的方法，對質數層樓的段，你仍然可以採用二分法。
上文貼出之後，我又在csdn和chinaunix的論壇看了一些網友的解法，發現上述方法並非最優。將大樓分段以縮小查詢範圍的想法是沒錯的，問題在於是否應該均勻分段。
題目要求我們總的投擲次數要最少。在分段之後，總的投擲次數就等於確定臨近段的次數加上確定臨界層的次數。如果我們均勻分段，則確定臨界層的最壞投擲數是固定的（9次），隨著我們確定臨近段的投擲次數增加，總的投擲次數也在增加。這樣一來，隨著臨界段的不同，投擲次數也不同。
這也就是為什麼上述方法不是最優的原因：投擲次數分布不均。按最壞情況估計，這種方法就多做了幾次。為了使最壞情況的投擲數最小，我們希望無論臨界段在**，總的投擲數都不變，也就是說將投擲數均勻分布。
接下來的解決方案就很容易想出了：既然第一步（確定臨界段）的投擲數增加不可避免，我們就讓第二步（確定臨界層）的投擲數隨著第一步的次數增加而減少。第一步的投擲數是一次一次增加的，那就讓第二步的投擲數一次一次減少。假設第一次投擲的層數是f，轉化成數學模型，就是要求f+(f-1)+...+2+1>=99，即f(f+1)/2>=99，解出結果等於14。
這種方法要推廣到n（n>2）個棋子的情況比較困難。我初步的想法是，先用均勻分段求出乙個解，然後修正這個解使投擲次數均勻分布。如果你對此有興趣，不妨思考一下具體的解法。
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