四元數由乙個實部和三個虛部構成,三個虛部彼此正交。四元數p = w + xi + yj +z k， i ，j ， k 均是虛數單位。也就是說, 四元數描述形式其實是標量加上向量。另外規定了如下規則：i2 = j2 = k2 = ijk = - 1，ij = k， jk = i，ki = j ，ji = - k，kj = - i，ik = - j。因為乙個四元數有4個部分，所以可以簡單表示為p=(a0,a1,a2,a3)，其中a1，a2，a3 為四元數對應的三個虛部，滿足向量運算法則。
一幅rgb 空間下的彩色影象可以用以下的四元數表示為：p = ri + gj + bk
其中，r 、g 、b 分別表示紅、綠、藍3 種顏色分量的亮度值，這種表示形式不同於以往的彩色影象描述方式，它能簡潔並更好地表達彩色影象資訊。
異值分解理論是上世紀 70 年代首先提出的 ,並且已經在影象處理當中得到了廣泛的應用。近年來，將奇異值分解理論引入到四元數中得到的四元數奇異值分解(qsvd)理論在彩色影象處理中受到越來越多的關注，這使得基於奇異值分解理論的原本應用於灰度影象的如影象壓縮，影象增強和影象去噪等技術可以推廣到彩色影象當中，保留了影象本身的資訊結構造而不需要將彩色影象分解為三個分量分別進行處理.
以下是n.le bihan提出的qsvd演算法的**實現：該演算法首先將四元數矩陣對映為複數矩陣，再利用複數矩陣奇異值分解來獲得四元數矩陣的奇異值。其中，複數矩陣的奇異值分解演算法（csvd）是我在網上google到的。
sangwine從90年代開始研究四元數理論在影象處理中的應用，包括四元數域上的各種代數計算理論，傅利葉分析等。並在sourceforge上發布了matlab工具包：
quaternion toolbox for matlab®
，裡面整合了各種四元數代數運算的演算法，有興趣的朋友可以去看看。
參考文獻
n.le bihan, singular value decomposition of quaternion matrices: a new tool for vector-sensor signal processing
, signal processing, 2004, 84, 1177-1199.
後記：當時找不到現成的**，出於興趣查了些資料，實現這個演算法。後來由於研究方向改變，沒有深入的去改進。希望通過這篇博文，可以找到喜歡四元數的朋友們。
奇異值分解
奇異值分解 singular value decomposition 是線性代數中一種重要的 矩陣分解，是矩陣分析中正規矩陣酉對角化的推廣。在訊號處理 統計學等領域有重要應用。1基本介紹 2理論描述 3幾何意義 4範數 5應用 求偽逆 平行奇異值模型 矩陣近似值 奇異值分解在某些方面與 對稱矩陣或 ...
奇異值分解
從幾何 的角度上來看奇異值分解 上圖表明任意的矩陣 a 是可以分解成三個矩陣相乘的形式。v表示了原始域的標準正交基，u表示經過a 變換後的co domain的標準正交基，表示了v 中的向量與u中相對應向量之間的關係。我們仔細觀察上圖發現，線性變換a可以分解為旋轉 縮放 旋轉這三種基本線性變換。接下來...
奇異值分解
本文 知乎 我們先舉乙個例子，假設現在我們拿到這樣一組資料，裡面有兩個屬性，既有以 千公尺 每小時 度量的最大速度特徵，也有 英里 小時 的最大速度特徵，顯然我們一眼就看出這兩個特徵有乙個多餘。怎麼直觀的判斷資料是否冗餘?上圖從左往右，我們可以發現資料之間的關聯性越來越強，也就是說兩組資料越來越 相...