幾個經典的博弈

2021-05-09 03:57:44 字數 3800 閱讀 3806

一)巴什博奕(

bash game

):只有一堆

n個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取乙個,最多取

m個。最後取光者得勝。

顯然,如果

n=m+1

,那麼由於一次最多只能取

m個,所以,無論先取者拿走多少個,後取者都能夠一次拿走剩餘的物品,後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則:如果n=(

m+1)

r+s,(

r為任意自然數,s≤

m),那麼先取者要拿走

s個物品,如果後取者拿走k(≤

m)個,那麼先取者再拿走

m+1-k

個,結果剩下(

m+1)(

r-1)個,以後保持這樣的取法,那麼先取者肯定獲勝。總之,要保持給對手留下(

m+1)的倍數,就能最後獲勝。

這個遊戲還可以有一種變相的玩法:兩個人輪流報數,每次至少報乙個,最多報十個,誰能報到

100者勝。

(二)威佐夫博奕(

wythoff game

):有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。

這種情況下是頗為複雜的。我們用(ak,

bk)(

ak ≤

bk ,k=0,1

,2,...,n)

表示兩堆物品的數量並稱其為局勢,如果甲面對(0,

0),那麼甲已經輸了,這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是:(0,

0)、(1,

2)、(3,

5)、(4,

7)、(6,

10)、(8,

13)、(9,

15)、(11,

18)、(12,

20)。

可以看出

,a0=b0=0,ak

是未在前面出現過的最小自然數,而

bk= ak + k

,奇異局勢有

如下三條性質:

1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。 由於

ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有

ak > ak-1

,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1

。所以性質

1。成立。 2

。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。

事實上,若只改變奇異局勢(ak,

bk)的某乙個分量,那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中,所以必然是非奇異局勢。如果使(ak,

bk)的兩個分量同時減少,則由於其差不變,且不可能是其他奇異局勢的差,因此也是非奇異局勢。 3

。採用適當的方法,可以將非奇異局勢變為奇異局勢。

假設面對的局勢是(

a,b),若

b = a

,則同時從兩堆中取走

a 個物體,就變為了奇異局勢(0,

0);如果

a = ak

,b > bk

,那麼,取走

b - bk

個物體,即變為奇異局勢;如果

a = ak

,b < bk ,

則同時從兩堆中拿走

ak - ab - ak

個物體,

變為奇異局勢(

ab - ak , ab - ak+ b - ak

);如果

a > ak

,b= ak + k,

則從第一堆中拿走多餘的數量

a - ak

即可;如果

a < ak

,b= ak + k,

分兩種情況,第一種,

a=aj

(j < k),

從第二堆裡面拿走

b - bj

即可;第二種,

a=bj

(j < k),

從第二堆裡面拿走

b - aj

即可。

從如上性質可知,兩個人如果都採用正確操作,那麼面對非奇異局勢,先拿者必勝;反之,則後拿者取勝。

那麼任給乙個局勢(a,

b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢?我們有如下公式:

ak =[k(1+

√5)/2]

,bk= ak + k

(k=0,1

,2,...,n

方括號表示取整函式)

奇妙的是其中出現了**分割數(1+√

5)/2 = 1

。618...,因此,

由ak,bk

組成的矩形近似為**矩形,由於2/(

1+√5)

=(√5-1)

/2,可以先求出

j=[a

(√5-1

)/2]

,若a=[j(1+

√5)/2]

,那麼a = aj

,bj = aj + j

,若不等於,那麼

a = aj+1

,bj+1 = aj+1+ j + 1

,若都不是,那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行,一定會遇到奇異局勢。

(三)尼姆博奕(

nimm game

):有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。

這種情況最有意思,它與二進位制有密切關係,我們用(a,

b,c)表示某種局勢,首先(0,

0,0)顯然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失敗。第二種奇異局勢是(0,

n,n),只要與對手拿走一樣多的物品,最後都將導致(0,

0,0)。仔細分析一下,(1,

2,3)也是奇異局勢,無論對手如何拿,接下來都可以變為(0,

n,n)的情形。

計算機演算法裡面有一種叫做按位模

2加,也叫做異或的運算,我們用符號(

+)表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是

1+1=0

。先看(1,

2,3)的按位模

2加的結果:

1 =二進位制

01

2 =二進位制

10

3 =二進位制

11 (+)

———————

0 =二進位制00

(注意不進製)

對於奇異局勢(0,

n,n)也一樣,結果也是0。

任何奇異局勢(a,

b,c)都有a(

+)b(

+)c =0。

如果我們面對的是乙個非奇異局勢(a,

b,c),要如何變為奇異局勢呢?假設

a < b< c,

我們只要將

c 變為a(

+)b,即可

,因為有如下的運算結果

: a(+)

b(+)

(a(+)

b)=(a(+

)a)(+

)(b(+

)b)=0(+

)0=0

。要將c 變為a

(+)b

,只要從

c中減去c-(

a(+)

b)即可。

例1。(14,21

,39),14(+

)21=27

,39-27=12

,所以從

39中拿走

12個物體即可達到奇異局勢(14,

21,27)。

例2。(55,81

,121

),55(+

)81=102

,121-102=19

,所以從

121中拿走

19個物品就形成了奇異局勢(55,

81,102)。

幾個經典的博弈

一 巴什博奕 bash game 只有一堆 n 個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取乙個,最多取 m 個。最後取光者得勝。顯然,如果 n m 1 那麼由於一次最多只能取 m 個,所以,無論先取者拿走多少個,後取者都能夠一次拿走剩餘的物品,後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則 如果 n...

幾個經典的博弈問題

有一種很有意思的遊戲,就是有物體若干堆,可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個 人輪流從堆中取物體若干,規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的乙個遊戲 別看這遊戲極其簡單,卻蘊含著深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠 取勝。一 巴什博奕 bash game 只有一堆n個物品,兩個人輪流...

基礎經典博弈

1.巴什博弈 題目一般是兩人輪流每次在n個物品中拿取不超過m個且至少拿乙個,拿光者勝出。我們可以將n個物品寫成k m 1 b b 0 所以先手先拿掉b個物品,後手只能拿x個物品 1 x m 這時先手再拿m 1 x個物品,迴圈往復可以保證先手的人最後拿完物品,先手就必勝。當b 0時無論先手怎麼拿,後手...