一)巴什博奕(
bash game
):只有一堆
n個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取乙個,最多取
m個。最後取光者得勝。
顯然,如果
n=m+1
,那麼由於一次最多只能取
m個,所以,無論先取者拿走多少個,後取者都能夠一次拿走剩餘的物品,後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則:如果n=(
m+1)
r+s,(
r為任意自然數,s≤
m),那麼先取者要拿走
s個物品,如果後取者拿走k(≤
m)個,那麼先取者再拿走
m+1-k
個,結果剩下(
m+1)(
r-1)個,以後保持這樣的取法,那麼先取者肯定獲勝。總之,要保持給對手留下(
m+1)的倍數,就能最後獲勝。
這個遊戲還可以有一種變相的玩法:兩個人輪流報數,每次至少報乙個,最多報十個,誰能報到
100者勝。
(二)威佐夫博奕(
wythoff game
):有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用(ak,
bk)(
ak ≤
bk ,k=0,1
,2,...,n)
表示兩堆物品的數量並稱其為局勢,如果甲面對(0,
0),那麼甲已經輸了,這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是:(0,
0)、(1,
2)、(3,
5)、(4,
7)、(6,
10)、(8,
13)、(9,
15)、(11,
18)、(12,
20)。
可以看出
,a0=b0=0,ak
是未在前面出現過的最小自然數,而
bk= ak + k
,奇異局勢有
如下三條性質:
1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。 由於
ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有
ak > ak-1
,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1
。所以性質
1。成立。 2
。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
事實上,若只改變奇異局勢(ak,
bk)的某乙個分量,那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中,所以必然是非奇異局勢。如果使(ak,
bk)的兩個分量同時減少,則由於其差不變,且不可能是其他奇異局勢的差,因此也是非奇異局勢。 3
。採用適當的方法,可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是(
a,b),若
b = a
,則同時從兩堆中取走
a 個物體,就變為了奇異局勢(0,
0);如果
a = ak
,b > bk
,那麼,取走
b - bk
個物體,即變為奇異局勢;如果
a = ak
,b < bk ,
則同時從兩堆中拿走
ak - ab - ak
個物體,
變為奇異局勢(
ab - ak , ab - ak+ b - ak
);如果
a > ak
,b= ak + k,
則從第一堆中拿走多餘的數量
a - ak
即可;如果
a < ak
,b= ak + k,
分兩種情況,第一種,
a=aj
(j < k),
從第二堆裡面拿走
b - bj
即可;第二種,
a=bj
(j < k),
從第二堆裡面拿走
b - aj
即可。
從如上性質可知,兩個人如果都採用正確操作,那麼面對非奇異局勢,先拿者必勝;反之,則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢(a,
b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢?我們有如下公式:
ak =[k(1+
√5)/2]
,bk= ak + k
(k=0,1
,2,...,n
方括號表示取整函式)
奇妙的是其中出現了**分割數(1+√
5)/2 = 1
。618...,因此,
由ak,bk
組成的矩形近似為**矩形,由於2/(
1+√5)
=(√5-1)
/2,可以先求出
j=[a
(√5-1
)/2]
,若a=[j(1+
√5)/2]
,那麼a = aj
,bj = aj + j
,若不等於,那麼
a = aj+1
,bj+1 = aj+1+ j + 1
,若都不是,那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行,一定會遇到奇異局勢。
(三)尼姆博奕(
nimm game
):有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。
這種情況最有意思,它與二進位制有密切關係,我們用(a,
b,c)表示某種局勢,首先(0,
0,0)顯然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失敗。第二種奇異局勢是(0,
n,n),只要與對手拿走一樣多的物品,最後都將導致(0,
0,0)。仔細分析一下,(1,
2,3)也是奇異局勢,無論對手如何拿,接下來都可以變為(0,
n,n)的情形。
計算機演算法裡面有一種叫做按位模
2加,也叫做異或的運算,我們用符號(
+)表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是
1+1=0
。先看(1,
2,3)的按位模
2加的結果:
1 =二進位制
01
2 =二進位制
10
3 =二進位制
11 (+)
———————
0 =二進位制00
(注意不進製)
對於奇異局勢(0,
n,n)也一樣,結果也是0。
任何奇異局勢(a,
b,c)都有a(
+)b(
+)c =0。
如果我們面對的是乙個非奇異局勢(a,
b,c),要如何變為奇異局勢呢?假設
a < b< c,
我們只要將
c 變為a(
+)b,即可
,因為有如下的運算結果
: a(+)
b(+)
(a(+)
b)=(a(+
)a)(+
)(b(+
)b)=0(+
)0=0
。要將c 變為a
(+)b
,只要從
c中減去c-(
a(+)
b)即可。
例1。(14,21
,39),14(+
)21=27
,39-27=12
,所以從
39中拿走
12個物體即可達到奇異局勢(14,
21,27)。
例2。(55,81
,121
),55(+
)81=102
,121-102=19
,所以從
121中拿走
19個物品就形成了奇異局勢(55,
81,102)。
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基礎經典博弈
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