一）巴什博奕（ bash game ）：只有一堆 n 個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取 m 個。最後取光者得勝。
顯然，如果 n=m+1 ，那麼由於一次最多只能取 m 個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果 n= （ m+1 ） r+s ，（ r 為任意自然數， s ≤ m), 那麼先取者要拿走 s 個物品，如果後取者拿走 k （≤ m) 個，那麼先取者再拿走 m+1-k 個，結果剩下（ m+1 ）（ r-1 ）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（ m+1 ）的倍數，就能最後獲勝。
這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報乙個，最多報十個，誰能報到 100 者勝。
（二）威佐夫博奕（ wythoff game ）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ ak ， bk ）（ ak ≤ bk ,k=0 ， 1 ， 2 ， ...,n) 表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（ 0 ， 0 ），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（ 0 ， 0 ）、（ 1 ， 2 ）、（ 3 ， 5 ）、（ 4 ， 7 ）、（ 6 ， 10 ）、（ 8 ， 13 ）、（ 9 ， 15 ）、（ 11 ， 18 ）、（ 12 ， 20 ）。
可以看出 ,a0=b0=0,ak 是未在前面出現過的最小自然數 , 而 bk= ak + k ，奇異局勢有
如下三條性質：
1 。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。
由於 ak 是未在前面出現過的最小自然數，所以有 ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質 1 。成立。
2 。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
事實上，若只改變奇異局勢（ ak ， bk ）的某乙個分量，那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ ak ， bk ）的兩個分量同時減少，則由於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3 。採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是（ a,b ），若 b = a ，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（ 0 ， 0 ）；如果 a = ak ， b > bk ，那麼，取走 b - bk 個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ， b < bk , 則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak 個物體 , 變為奇異局勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak ）；如果 a > ak ， b= ak + k, 則從第一堆中拿走多餘的數量 a - ak 即可；如果 a < ak ， b= ak + k, 分兩種情況，第一種， a=aj （ j < k ） , 從第二堆裡面拿走 b - bj 即可；第二種， a=bj （ j < k ） , 從第二堆裡面拿走 b - aj 即可。
從如上性質可知，兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（ a ， b ），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k （ 1+ √ 5 ） /2] ， bk= ak + k （ k=0 ， 1 ， 2 ， ...,n 方括號表示取整函式 )
奇妙的是其中出現了**分割數（ 1+ √ 5 ） /2 = 1 。 618..., 因此 , 由 ak ， bk 組成的矩形近似為**矩形，由於 2/ （ 1+ √ 5 ） = （√ 5-1 ） /2 ，可以先求出 j=[a （√ 5-1 ） /2] ，若 a=[j （ 1+ √ 5 ） /2] ，那麼 a = aj ， bj = aj + j ，若不等於，那麼 a = aj+1 ， bj+1 = aj+1+ j + 1 ，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。
（三）尼姆博奕（ nimm game ）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（ a ， b ， c ）表示某種局勢，首先（ 0 ， 0 ， 0 ）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（ 0 ， n ， n ），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（ 0 ， 0 ， 0 ）。仔細分析一下，（ 1 ， 2 ， 3 ）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（ 0 ， n ， n ）的情形。
計算機演算法裡面有一種叫做按位模 2 加，也叫做異或的運算，我們用符號（ + ）表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是 1+1=0 。先看（ 1 ， 2 ， 3 ）的按位模 2 加的結果：
1 = 二進位制 01
2 = 二進位制 10
3 = 二進位制 11 （ + ）
———————
0 = 二進位制 00 （注意不進製）
對於奇異局勢（ 0 ， n ， n ）也一樣，結果也是 0 。
任何奇異局勢（ a ， b ， c ）都有 a （ + ） b （ + ） c =0 。
如果我們面對的是乙個非奇異局勢（ a ， b ， c ），要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b< c, 我們只要將 c 變為 a （ + ） b, 即可 , 因為有如下的運算結果 : a （ + ） b （ + ） (a （ + ） b)=(a （ + ） a) （ + ） (b （ + ） b)=0 （ + ） 0=0 。要將 c 變為 a （ + ） b ，只要從 c 中減去 c- （ a （ + ） b ）即可。
例 1 。（ 14 ， 21 ， 39 ）， 14 （ + ） 21=27 ， 39-27=12 ，所以從 39 中拿走 12 個物體即可達到奇異局勢（ 14 ， 21 ， 27 ）。
例 2 。（ 55 ， 81 ， 121 ）， 55 （ + ） 81=102 ， 121-102=19 ，所以從 121 中拿走 19 個物品就形成了奇異局勢（ 55 ， 81 ， 102 ）。
幾個經典的博弈
一 巴什博奕 bash game 只有一堆 n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取 m個。最後取光者得勝。顯然，如果 n m 1 那麼由於一次最多只能取 m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則 如果n m 1...
幾個經典的博弈問題
有一種很有意思的遊戲，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個 人輪流從堆中取物體若干，規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的乙個遊戲 別看這遊戲極其簡單，卻蘊含著深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠 取勝。一 巴什博奕 bash game 只有一堆n個物品，兩個人輪流...
基礎經典博弈
1.巴什博弈 題目一般是兩人輪流每次在n個物品中拿取不超過m個且至少拿乙個，拿光者勝出。我們可以將n個物品寫成k m 1 b b 0 所以先手先拿掉b個物品，後手只能拿x個物品 1 x m 這時先手再拿m 1 x個物品，迴圈往復可以保證先手的人最後拿完物品，先手就必勝。當b 0時無論先手怎麼拿，後手...