揹包問題系列演算法詳解

揹包問題是乙個關於最優解的經典問題。通常被討論的最多的，最經典的揹包問題是0-1揹包問題(0-1 knapsack problem)。它是一切揹包問題及相關揹包問題的基礎。本篇博文將詳細分析0-1揹包問題，並給出0-1揹包問題的幾種解法，同時也對0-1揹包問題的內涵進行延伸，豐富其外延至完全揹包問題和多重揹包問題，並給出揹包問題的演算法實現過程，希望對大家有幫助。

一、0-1揹包問題

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品（每個物品只有一件）的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

（1）遞迴求解

演算法如下：

#include "iostream"

#define capacity 10

#define goodsnum 6

using namespace std;

int nvol[goodsnum];

int nvalue[goodsnum];

int knapsack(int itemindex,int vol);

void main()

cout<<"the max value is: "else if (vol>=nvol[itemindex] && knapsack(itemindex-1,vol)分析：遞迴求解，求解過程中的絕大部分變數存在重複求解的過程，演算法的效率較低，有待改進；那怎麼改進呢？最有效的是用陣列儲存每次計算的結果，不用重複計算，於是有二維陣列求解。

（2）二維陣列求解

演算法如下：

#include "iostream"

#define capacity 10

#define goodsnum 6

using namespace std;

void main()

;int c[goodsnum] = ;

int fun[goodsnum+1][capacity+1];

for (i=1;i<=goodsnum;i++)

for (i=1;i<=capacity;i++)

for (i=1;i<=goodsnum;i++)

;int nvalue[goodsnum] = ;

int selecttable[goodsnum][capacity+1] = ;

int nknapsack[capacity+1] = ;//most important for the first compution below

int itemindex,capindex;

for (itemindex=0;itemindex=nvolume[itemindex];capindex--)//notice that capindex>=nvolume[itemindex],not capindex>=0 注意此處與二維陣列求解的區別

稍加分析可得完全揹包問題的狀態方程f[i][v]=max，因而有以下演算法實現過程，並最終給出了所選擇的物品和選擇該物品的數目。

實現演算法：

#include "iostream"

#define capacity 10

#define goodsnum 6

using namespace std;

void main()

;int nvalue[goodsnum] = ;

int selecttable[goodsnum][capacity+1] = ;

int nknapsack[capacity+1] = ;//most important for the first compution below

int itemindex,capindex;

for (itemindex=0;itemindex=nvolume[itemindex];capindex--)//notice that capindex>=nvolume[itemindex],not capindex>=0

{num = 0;

max = nknapsack[capindex];

for (k=1;k<=capacity/nvolume[itemindex];k++)

{if (capindex>=k*nvolume[itemindex] && max=0;itemindex--)

{if (selecttable[itemindex][capindex])

{cout《三、多重揹包問題

多重揹包問題：有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

多重揹包問題基本求解方式同完全揹包問題，唯一的是控制引數k的限制有所不同。只需要將完全揹包問題實現中的k<=capacity/nvolume[itemindex]限制條件改為k<=capacity/nvolume[itemindex] && k<= n[i]即可。

（全文完）

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