5.元素的冪
尤拉定理，對於任意z*[n]中的a，有a^phi(n)（mod n） = a^|z*[n]| （mod n） = 1(單位元)，由之前z*[n]定義處定理可知
費馬定理，對於素數p，a^(p-1) （mod p） = 1 因為|z*[p]| = p - 1，0不在z*[p]當中
求冪當然是化成平方的平方的形式比較快
6.rsa公鑰加密系統
公鑰p和私鑰s實際上是一對互逆的過程 m = p(s(m)) 或 m = s(p(m))， 而且從p很難推出s，這種互逆不可互推的過程就是數論當中的原理，這兩個等式也分別代表了公鑰加密的兩種場景，前者是強調任何人都可以看資訊，但沒有私鑰，無法冒充那個拿著私鑰的人來發資訊，後者強調任何人都可以發，但沒有私鑰，你無法看到發給對應公鑰之人的資訊。
加密過程：隨機選大素數p、q 一般512位。n = pq，可知phi[n] = |z*[n]| = (p - 1)(q - 1) 這是因為 n^((p - 1)(q -1)) = 1，取最小與phi[n]互質的奇數e，求其對於z*[phi[n]]的逆元d，其中(e, n)為公鑰，(d, n)為私鑰 兩個過程分別為：
p(m) = (m^e) mod n
s(c) = (c^d) mod n
正確性：p(s(m)) = s(p(m)) = (m^(ed)) mod n = (m^(1 + k(p-1)(q -1))) mod n = m * (m^(p-1))^k(q - 1))
其中m^(p - 1) = 1(費馬定理) 所以上面式子結果為m
在實際應用中，一般用乙個其他比較快速加密手段加密正文，然後將金鑰用rsa加密，可恨高程度的提高效率
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