最短路徑演算法

floyd演算法

012345

001∞∞

54 1108∞∞

1 2∞801∞3

3∞∞1035

45∞∞302

5413520

floyd

演算法過程描述如下：

１、首先ｓ以邊集ｍ初始化，得到所有的直接連通代價；

２、依次考慮第

k個結點，對於ｓ中的每乙個ｓ

[i][j]

，判斷是否滿足：

s[i][j]>s[i][k]+s[k][j]

，如果滿足則用

s[i][k]+s[k][j]

代替ｓ[i][j]

，此為第k步；

３、k迴圈取遍所有結點，演算法結束時，ｓ為最終解。

1經典dijkstra演算法的主要思想

演算法介紹

dijkstra演算法是由荷蘭計算機科學家艾茲格·迪科斯徹發現的。演算法解決的是有向圖中最短路徑問題。

舉例來說，如果圖中的頂點表示城市，而邊上的權重表示著城市間開車行經的距離。 dijkstra演算法可以用來找到兩個城市之間的最短路徑。

dijkstra演算法的輸入包含了乙個有權重的有向圖g，以及g中的乙個**頂點s。我們以v表示g中所有頂點的集合。每乙個圖中的邊，都是兩個頂點所形成的有序元素對。(u,v)表示從頂點u到v有路徑相連。我們以e所有邊的集合，而邊的權重則由權重函式w: e → [0, ∞]定義。因此，w(u,v)就是從頂點u到頂點v的非負花費值(cost)。邊的花費可以想像成兩個頂點之間的距離。任兩點間路徑的花費值，就是該路徑上所有邊的花費值總和。已知有v中有頂點s及t，dijkstra演算法可以找到s到t的最低花費路徑(i.e. 最短路徑)。這個演算法也可以在乙個圖中，找到從乙個頂點s到任何其他頂點的最短路徑。

演算法描述

這個演算法是通過為每個頂點v保留目前為止所找到的從s到v的最短路徑來工作的。初始時，源點s的路徑長度值被賦為0（d[s]=0），同時把所有其他頂點的路徑長度設為無窮大，即表示我們不知道任何通向這些頂點的路徑（對於v中所有頂點v除s外d[v]= ∞）。當演算法結束時，d[v]中儲存的便是從s到v的最短路徑，或者如果路徑不存在的話是無窮大。 dijstra演算法的基礎操作是邊的拓展：如果存在一條從u到v的邊，那麼從s到u的最短路徑可以通過將邊(u,v)新增到尾部來拓展一條從s到v的路徑。這條路徑的長度是d+w(u,v)。如果這個值比目前已知的d[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前d[v]中的值。拓展邊的操作一直執行到所有的d[v]都代表從s到v最短路徑的花費。這個演算法經過組織因而當d達到它最終的值的時候沒條邊(u,v)都只被拓展一次。

演算法維護兩個頂點集s和q。集合s保留了我們已知的所有d[v]的值已經是最短路徑的值頂點，而集合q則保留其他所有頂點。集合s初始狀態為空，而後每一步都有乙個頂點從q移動到s。這個被選擇的頂點是q中擁有最小的d值的頂點。當乙個頂點u從q中轉移到了s中，演算法對每條外接邊(u,v)進行拓展。

#include "stdio.h"

struct vertex ;

main()

for(i=0;i<6;i++)

dist[i]=a[0][i];

for(i=0;i<6;i++)

for(j=0;j<6;j++)

path[i][j]=-1;

for(i=0;i<6;i++)

s[0].tag=1;

path[0][0]=0;

tag_number=1;

while(tag_number<6)

} min=100;

for(k=0;k<6;k++)

} dist[t]=min;

s[t].tag=1;

printf("the vertex %d has been selected!/n",t);

k=t;

temp=0;

for(i=0;i<6;i++)

if((s[i].tag==1)&&(i!=k)&&(dist[k]==dist[i]+a[i][k]))

path[k][kt]=k; }

tag_number++; }

for(i=0;i<6;i++)

printf("dist[%d]=%d/n",i,dist[i]);

for(i=0;i<6;i++)

for(j=0;j<6;j++)

if(path[i][j]!=-1)

printf("path[%d][%d]=%d ",i,j,path[i][j]);

else

printf("/n");

getch(); }

dist[0]=0

dist[1]=1

dist[2]=3

dist[3]=4

dist[4]=6

dist[5]=2

path[0][0]=0

path[1][0]=0 path[1][1]=1

path[2][0]=0 path[2][1]=1 path[2][2]=2

path[3][0]=0 path[3][1]=1 path[3][2]=2 path[3][3]=3

path[4][0]=0 path[4][1]=1 path[4][2]=5 path[4][3]=4

path[5][0]=0 path[5][1]=1 path[5][2]=5

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