題目：
在一條長長的走廊上依次排列著
100把鎖著的鎖頭。你從把這
100把鎖全部開啟開始（第
1遍）。然後，你把所有序號是
2的倍數的鎖頭再鎖上（第
2遍）。接下來，你依次走到所有序號是
3的倍數的鎖頭前，如果它是開啟的，就把它鎖上；如果它是鎖上的，就把它開啟——我們把這稱為「切換鎖頭的狀態」（第
3遍）。你繼續像這樣在第
n遍去切換所有序號是
n的倍數的鎖頭的狀態。當進行到第
100遍時，你將只切換第
100把鎖頭的狀態。
請問：在如此這般地進行了
100遍切換之後，有多少鎖頭是開啟的？
答案
:進行
100遍切換之後,有鎖
1,4,9,16.....100,共10
把鎖頭是開啟的;
如果走廊裡依次排列著
k把鎖頭，那麼在第k遍後
,有鎖1,4,9,16.....,|sqrt(k)|
鎖頭是開啟的.
證明
:100
把鎖頭分別標記為
s1,s2,s3,..,si,..,s100 s1
只在第1
遍被切換狀態;
如果i是素數,si
只是在第
1遍和第
i遍被切換狀態
,切換次數為偶數個;
如果i是非平方數的合數
,則總可以分解為
i=m*n=q*p=....=r*u(m!=n,q!=p,....,r!=u),si
只是在第1遍
,第i遍
,第m,n,q,p,...,r,u
遍被切換狀態
,切換次數為偶數個;
如果i是平方數時
,i=m*n=q*p=....=r*u=x*x(m!=n,q!=p,....,r!=u),si
只是在第1遍
,第i遍
,第m,n,q,p,...,r,u遍,
第x遍被切換狀態
,切換次數為奇數個;
切換之前
,鎖頭是鎖著的狀態
,經過偶數次切換後
,鎖頭還是鎖著的狀態;
切換之前
,鎖頭是鎖著的狀態
,經過奇數次切換後
,鎖頭變為開啟著的狀態.
因此,只有當i
是平方數的鎖頭被開啟.
演算法
:
由開鎖智力題的操作步驟
,我們可以獲得啟發
,按照這種方法獲取平方數.
step1:
將數的狀態值都設定為
-1;
step2:
將所有數依此模
1,2,3,....,100,
如果結果為
0,就改變狀態;
step3:
列印出狀態值為1的數
. 程式
:
下面是利用這一方法獲取
[1,100]
區間上平方數的程式
,**在
vc++6.0
平台執行成功.
date:2007.2.15
findsquarenumber .cpp**/
#include
#include
using namespace std;
void main()
if(a==1)
cout<<"square number :"< }
system("pause"); }
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