蘇聯哲學百科
無 窮 歸 納
全稱命題(或全稱判斷)是作為包括一切個別事例的無窮個前提的結論而獲得的。
無窮歸納的例子：
1+0=0+1；1+1=1+1；1+2=2+1；1+3=3+1；1+4=4+1；1+5=5+1； l+6=6+1；……
因此，等式1+x=x+1適用於任何乙個自然數(即非負整數)x。
這個例子是以下更為一般的推理模式的特殊情況：
0具有性質s，
1具有性質s，
2具有性質s，
3具有性質s，
………
-----------------------------------
因此，所有自然數具有性質s。
這種推理可以表示為以下形式：
s(0)，s(1)，s(2)，…，s(n)，……
------------------------------------------
s(x)
這裡，橫線以上列出了前提，橫線以下是結論。結論的全稱住就表現在其中含有用字母表示的變數x，它可以取任何乙個自然數為值。
但是由於要實際列出無窮多個前提是不可能的，因此無窮歸納的純粹形式在實踐中是不會遇到的(甚至上述無窮歸納的例子和模式的陳述也不能完全精確地表達問題的實質，因為其中並沒有真正列舉所有前提，而是以省略號代替，列舉所有前提實際上是不可能做到的)。由於這一緣故，在科學思維的實踐中，無窮歸納通常或者被不完全歸納所代替，這時作為前提列舉的 並不是全稱性結論所需要的全部個別事例；或者被所謂完全數學歸納所代替，這是可以用以下形式來表示的一種歸納：
s(0)，s(x)->s(x+1)
-------------------------
s(x)
[其中s(x)->s(x+1)表示「如果x具有性質s，則x+1也具有性質s」]。
但是無窮歸納在一系列理論結構中，特別是在數理邏輯和數學基礎的領域內，起著重要作用。考察無窮歸納之所以必要，是因為別的歸納形式無法完全代替它：完全數學歸納比起無窮歸納來，其作用要小得多。因為它只有在前提中已經存在某個全稱命題[s(x)->s(x+1)]的情況下才能適用；不完全歸納則是一種不精確的推理工具，而它的高階形式——自然科學歸納——無法利用數學方法加以精確研究，因為它和通常的不完全歸納法的區別，與其說具有形式的性質，毋寧說具有辯證的性質。
任何數學領域的論證都必須引入無窮歸納，這是因為，即使在算術那樣的初等數學的論證中也存在著嚴重困難。這種困難和k．哥德爾2023年發現的下述現象有關：將算術形式化(這就是使算術的邏輯基礎精確化，以致有可能成為數學研究的物件)後而得到的任何一種形式演算終究是不完備的和不可補足的：這種形式演算包含有限條公理和推理規則(推理模式)，並且其中每一條規則都是有限的(意即只有有限個前提，可以用演算法在每乙個別場合根據前提和結論來檢驗推理是否正確)。哥德爾證明，在任何這樣的演算中都可以找到它所不能證明也不能反駁的公式。這一結果加深了從前只有直覺主義者(參見直覺主義)曾經表示過的懷疑——是否任何算術命題都非真即假(參見排中律)。此外還發現，可以構造出新而又新的算術真命題，而它們在已經設計出來的演算中卻無法證明(哥德爾公式的例子正是這樣)，因而這些演算的可靠性就愈來愈缺少根據了。
擺脫這些困難的嘗試之一，就是將無窮歸納原理應用於數學的論證。但是這種應用並非真的按照這一原理去推理(這是根本不可能的)，而是具有比較抽象的性質，例如，將這一原理以模式(*)的形式，作為不同於通常的推理規則的非有限推理規則補充到形式演算中。同時研究如下問題：這一補充提供了什麼，可證公式類因此而有什麼變化。
這種方法最先是卡爾納普2023年在研究形式「語言」(包括算術語言在內)的性質時提出的，他證明，以模式(*)補充通常的形式算術之後，算術的所有初級命題(只包含以自然數集為值域的變數而不包含其他變數的命題)就成為或者可證或者可反駁的。由於這一緣故，通常就把模式(*)算作「卡爾納普規則」，正是這一模式(*)，通常也稱為「無窮歸納規則」。不過並非所有的無窮歸納都可以歸結為這一模式。可以歸結為這一模式(*)的，僅僅是前提可以用自然數列舉的那種無窮歸納。後者並非在一切情況下都是可能的，因為存在著無窮集的各種不同的勢(見集合論)。
在演算中補充了模式(*)之後，演算中證明的性質就發生本質的改變。證明包含的命題序列，一般說來，從有限變成無限，用數學語言更確切地說，是超限，也就是說，是按某種無窮序數型別編序的。在這種情況下，研究可構造序數將起重要作用。所謂可構造序數就是這樣的序數a(有限或超限)，其中與數a對應的次序關係在某種意義上是按演算法給出的。
在研究某些問題時，只需要使用有限制的無窮歸納，即證明的「長度」不超過某個固定的可構造序數的無窮歸納。例如在論證形式算術中排中律的不矛盾性時就是這樣(按照g·耿稱、k.胥特等人的方法)。但是，正如b.羅瑟2023年的研究以及由p.c.諾維柯夫的學生b.y.法列維支2023年進一步的發展所證明的那樣，當這個演算的命題中包含以實數集為值域的變數，或以自然數性質集為值域的變數(謂詞變數)時，則任何有限制的無窮歸納都不足以克服類似於形式算術在不應用無窮歸納時所具有的那種不完備現象。
但是在無限制無窮歸納的情況下，就是說，在將模式(*)應用於任意長的超限證明的情況下，帶有謂詞變數(但謂詞變數不用量詞)的形式算術就在下述意義上成為完備的：其中任何真命題(在變數的一切值下真)都是可證的。而按照a.b.庫茲涅佐夫的證明(2023年)，這一結果在只應用「構造性」的無窮歸納的情況下也同樣可以成立。所謂構造性無窮歸納，是這樣一種無窮歸納，對於它的每乙個證明，都有某個可構造物件(參見演算法)與之對應，例如乙個與該證明有關的號碼；而模式(*)只有在演算法可以按照數竹給出第n個前提[即s(n)]的證明號碼時才能應用。同時，證明號碼的建立，應便於根據號碼用演算法恢復證明的整個過程，特別是便於用超限命題序列形式來記錄該證明，這一串行在其寫下的過程中，每一步都是有限的，並且隨後要寫的每一項，相對於已經寫下的各項處於怎樣的位置都是由演算法指示的。
無窮歸納(包括沒有限制的在內)在非可計算謂詞與非可計算函式的分類問題上也可以應用。但是應用沒有限制的無窮歸納，即使是可構造的無窮歸納，也有某些困難，這一方面是由於構造性無窮歸納還缺乏充分的可構造特徵，而這又與可構造序數的整體概念(即不是涉及其中某些可構造序數，而是一下子涉及所有可構造序數的概念)的不可構造性緊密相關；另一方面也由於我們對以下問題還缺乏充分的研究：基於怎樣的抽象和原則來處理這些概念才是適當的。
參考書目：
s.c.克林 < 元數學導論 > 譯自英文，莫斯科1957 年版；
a.b.庫茲涅佐夫 < 帶有構造性無窮歸納規則的算術公理系統的完備性 > 載 < 數學科學進展》 莫斯科 1957 年版第 12卷第 4(76) 分冊；
r.卡爾納普 < 語言的邏輯句法 > 維也納1934 年德文版；英譯本紐約- 倫敦 1937 年 [增訂版 ] 。
蘇聯哲學百科 實無窮與潛在可實現性的抽
實無窮的抽象 數學和邏輯學的基本抽象之一，它使人們有可能應用從接觸有限總體的經驗中獲得的邏輯原理 特別是排中律 任意抽樣原則等 來研究無限總體 無窮集 實無窮的抽象就是撇開無窮集形成過程的未完成性和不可完成性，撇開列舉無窮集全部分子的不可能性 從這個意義上說，實無窮的抽象就是撇開集的 無窮 參見演算...
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