圓的生成演算法

基礎知識

在進行圓的轉換時，只要能生成8分圓，那麼圓的其它部分可通過一系列的簡單反射變換得到。本小節介紹一種常用的畫圓演算法：bresenham畫圓演算法。

bresenham演算法：不失一般性，考慮圓心在原點，半徑為r的第乙個4分圓。取（0，r)為起點，按順時針方向生成圓。從這段圓弧的任意一點出發，按順時針方向生成圓時，為了最佳逼近該圓，下一象素的取法只要三種可能的選擇：正右方象素，右下方象素和正下方象素。

xi+1=xi+1

相應的

yi+1

則在兩種可能中選擇：

yi+1=yi

，或者yi+1=yi-1

選擇的原則是考察精確值

y靠近yi還是靠近yi-1（圖1

），計算式為

：

y2=r2-(xi+1)2

d1=yi

2-y2

=yi

2-r2+(xi+1)2

d2=y2-(yi-1)2

=r2-(xi+1)2-(yi-1)2

圖1

令pi=d1-d2，並代入d1, d2，則有

pi=2(xi+1)2+yi2+(yi-1)2-2r2 (2.2.1)

pi+1=pi+4xi+6+2(yi2+1-yi2)-2(yi+1-yi) (2.2.2)

p1=3-2r (2.2.3)

根據上面的推導，圓周生成演算法思想為：

1、求誤差初值，p1=3-2r; i=1；畫點(0, r)；

2、求下乙個光柵位置：

xi+1=xi+1；

if pi<0 則yi+1=yi；

否則yi+1=yi-1；

3、畫點（xi+1, yi+1）

4、計算下乙個誤差：

if pi<0 則pi+1=pi+4xi+6；

否則 pi+1=pi+4(xi-yi)+10；

5、i=i+1; if x=y則end；否則返2。

雖然式（2.2.2）式表示pi+1的演算法似乎很複雜，但因為yi+1只能取值yi或yi-1，因此在演算法中，第4步的算式變得很簡單，只須作加法和4的乘法。因此圓的bresenham演算法執行速度也是很快的，並適宜於硬體實現。

圓的bresenham演算法的程式實現見程式2.2.1。

circle (xc, yc, radius, c)

int xc, yc, radius, c;

x+=1;

}

if (x= =y)

plot_circle_points(xc, yc, x, y, c);

}

plot_circle_points(xc, yc, x, y, c)

int xc, yc, x, y, c;

bresenham的圓生成演算法

設圓之半徑為r。先考慮圓心在（0,0），並從x=0, y=r開始的順時針方向的1/8圓周的生成過程。在這種情況下，x每步增加1，從x=0開始，到x=y結束。即有：

給出圓心座標

xc, yc，和半徑r，逐點畫出乙個圓周的公式有下列兩種：

1、直角座標法：

(x-xc)2+(y-yc)2=r2

由上式匯出

y= 當

x-xc從-r到r作加1遞增時，就可以求出對應的圓周點的y座標。但是這樣求出的圓周上的點是不均勻的；|x-xc|越大，對應生成圓周點之間的圓周距離也就越長。因此，所生成的圓不美觀。

.2、極座標法：

x=xc+r·cosθ

y=yc+r·sinθ

當θ 從0 度到360 作加1遞增時，由此式便可求出圓周上均勻分布的360個點的x, y座標。利用圓周座標的對稱性，此演算法還可以簡化：將圓周分為8個象限（圖2.2.1）。只要將第1a象限中的圓周光柵點求出，其餘7部分圓周就可以通過對稱法則計算出來。圖2.2.1給出了圓心在0，0

點時的對稱變換法則。但即使作了如此簡化，用上述公式每算一點，都要經過三角函式計算，仍有相當大的計算量。

圖2.2.1 圓心在0,0點圓周生成時的對稱變換

在計算機中上述兩個公式所示的方法生成圓周都頗費時，下面介紹的演算法則要簡捷得多。

3.圓的bresenham演算法

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