本題同樣是差分約束的問題，要求\(1\)到\(n\)之間可能的最大的距離，這使得我們更加深刻的理解了差分約束的思想。
在\(acwing\)
\(1169\) 糖果裡，仔細的講解了差分約束的基本思想，以及求不等式組的最大解需要求最短路，求最小解需要求最長路，這裡不等式解的最大最小都是相對而言的。比如\(a_2 <= a_1 + 1,a_3 <= a_2 + 1\)，求最短路和最長路的建圖如下圖所示：
對於最短路而言，設起點\(a_1 = 0\)，求得\(a_2\)的最大值是\(1\)，\(a_3\)的最大值是\(2\)；對於最長路而言，設\(a_3 = 0\)，則\(a_2\)的最小值是\(-1\)，\(a_1\)的最小值是\(-2\)，所以所謂的最值都是相對的，本題求\(1\)到\(n\)之間的最大距離很能夠體現這種相對的關係。
下面梳理下已知的結論：對於同乙個不等式組，最短路和最長路建圖是完全不同的，邊的大小互為相反數，方向相反，如果不等式組無解，即沒有合法的一組解使得所有的不等式都成立，那麼建立的最短路圖中一定存在負環，建立的最長路的圖中一定存在正環。如果不等式組有解，最短路求得的是最大解，最長路求得的是最小解。
要求1到n之間的距離，不妨設1號點的座標就是0，從0出發到達終點n，要想距離最大，則n號點的解就要最大，所以需要求最短路。當然如果將n的座標設定為0，也可以通過求最長路來使得1到n之間的距離最大。本題的約束條件有三個，ai-1 <= ai；ai - aj <= l；ai - aj >= d。暫且不去分析具體的約束條件，先討論乙個問題，什麼情況下起點到終點的距離可以無限大。關於這個問題，很多部落格僅僅給出了必要條件，比如說從起點到達不了終點，圖中的兩點間沒有可達的路徑，沒有約束距離就無限大，但這僅僅是必要條件而非充分條件。比如下面的不等式組：a1 <= a2 - 1，a2 <= a3 - 1，最短路建圖如下：
從a3是可以到達a1的，圖中沒有孤立的點，a3 = 0時，a1就可以無限小，他們的距離就無限大。這個簡單的例子可以看出，差分約束的不等式組對應的圖如果沒有環，起點和終點的距離是可以無限大的。要想兩點間距離有限，需要圖中有乙個適當的環，來約束解的範圍。上圖的不等式組可以推出a1 <= a3 - 2，那麼我再加上乙個不等式約束a1 >= a3 - 4,，就成功的將a1到a3之間的距離限制在4個單位以內了。對應圖中的表現不過是a1到a3連一條邊權為4的邊，我們分析此時環的長度4 - 1 - 1 = 2是大於0的。所以我們可以得出下面的結論：最短路的圖中如果存在負環，差分約束問題無合法解，如果存在正環，則正環上任意兩點間的距離都是有限的，不存在環的圖上任意兩點間的距離都可以是無限大的。這個結論可以模擬到最長路的圖中。換一種表達形式的話就是如果要圖中的兩點間距離有限，只需要存在乙個正環，且這兩個點都在環上。那麼本題我們是否需要判斷了負環還要判斷正環呢？實際上是不需要的。
第乙個約束條件ai >= ai-1，構建的最短路圖中an可以到達an-1,an-1可以到達an-2,...。所以an可以到達每一點，包括a1。我們先以an為起點，求一遍最短路，如果存在負環，則不等式組無解，如果不存在負環，那麼不等式組肯定有解，下面要判斷的就是an - a1的結果是否可以無限大。在確定了不等式組有解的情況下，我們以a1為起點再求一遍最短路，當然a1不一定能夠到達每一點，如果a1到達不了an，說明不存在乙個環，環上同時包含a1到an。如果a1出發可以到達an，則一定存在由a1、an構成的正環。從ai出發可以到達an，an出發可以到達a1，這個條件保證了環的存在。第一次以an為起點求最短路時不存在負環，說明這個環一定不是負環，那麼就是正環了（即使環的長度為0也是有解的）。根據我們上一段推出的結論可知，此時a1和an之間的距離是有限的，並且第二次求最短路過程中a1是起點，求得的an是最大值，所以此時的an就是我們要求的最大距離了。
最後再總結下本題給我們的經驗（僅僅是個人經驗總結）。最短路存在負環，差分約束問題無解，最短路存在正環，環上任意兩點之間距離有限，最短路不存在環，任意兩點間距離可以是無窮大；最長路存在正環，差分約束問題無解，最長路存在負環，環上任意兩點之間距離有限，最長路不存在環，任意兩點間距離可以是無窮大。總的**如下：
AcWing 1170 排隊布局（差分約束）
當排隊等候餵食時，奶牛喜歡和它們的朋友站得靠近些。農夫約翰有 n 頭奶牛，編號從 1 到 n，沿一條直線站著等候餵食。奶牛排在隊伍中的順序和它們的編號是相同的。因為奶牛相當苗條，所以可能有兩頭或者更多奶牛站在同一位置上。如果我們想象奶牛是站在一條數軸上的話，允許有兩頭或更多奶牛擁有相同的橫座標。一些...
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281 排隊布局
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