關於統計數字問題的演算法

一本書的頁碼從自然數1開始順序編碼直到自然數n。書的頁碼按照通常的習慣編排，每個頁碼都不含多餘的前導數字0。例如第6頁用6表示而不是06或006。數字統計問題要求對給定書的總頁碼，計算出書的全部頁碼中分別用到多少次數字0,1,2,3,.....9。

這個題目有個最容易想到的n*log10(n)的演算法。這是自己寫的複雜度為o(n*log10(n))的**：

void statnumber(int n) ;

for(i = 1; i <= n; i++)

} for(i = 0; i < 10; i++)

}仔細考慮m個n位十進位制數的特點，在乙個n位十進位制數的由低到高的第i個數字上，總是連續出現10^i個0，然後是10^i個1……一直到10^i個9，9之後又是連續的10^i個0，這樣迴圈出現。找到這個規律，就可以在常數時間內算出第i個數字上每個數字出現的次數。而在第i個數字上，最前面的10^i個0是前導0，應該把它們減掉。

這樣，可以只分析給定的輸入整數n的每個數字，從面可以得到乙個log10(n)的演算法，**如下：

void statnumber(int n) , count[10] = ;

for(i = 1; i < 12; i++)

sprintf(d, "%d", n);

m = n+1;

for(i = 0; i <= len; i++)

while(j < 10)

count[0] -= pow10[len-i]; /* 第i個數字上前10^i個0是無意義的 */

} for(j = 0; j < 10; j++)

}通過對隨機生成的測試資料的比較，可以驗證第二段**是正確的。

對兩段**做效率測試，第一次隨機產生20萬個整數，結果在我的電腦上，第二段**執行1.744秒。第一段**等我吃完鈑回來看還是沒反應，就強行關了它。

第二次產生了1000個整數，再次測試，結果第一段**在我的電腦上執行的時間是

10.1440秒，而第二段**的執行時間是0.0800秒。

其原因是第一段**時間複雜度為o(n*log10(n))，對m個輸入整數進行計算，則需要的時間為 1*log10(1) + 2*log10(2) + ... + m*log10(m)，　當n > 10時，有

n*log10(n) > n，所以上式的下界為11+12+....+m，其漸近界為m*m。對於20萬個測試資料，其執行時間的下界就是4*10^10。

同樣可得第二段**對於n個輸入資料的執行時間界是n*log10(n)的。

上面的**中有個pow10陣列用來記錄10^i，但10^10左右就已經超過了2^32，但是題目給定的輸入整數的範圍在10^9以內，所以沒有影響。

原著中給出的分析如下：

考察由0,1,2...9組成的所有n位數。從n個0到n個9共有10^n個n位數。在這10^n個n位數中，0,1,2.....9第個數字使用次數相同，設為f(n)。f(n)滿足如下遞推式：

n>1:

f(n) = 10f(n-1)+10^(n-1)

n = 1:

f(n) =1

由此可知，f(n) = n*10^(n-1)。

據此，可從高位向低位進行統計，再減去多餘的0的個數即可。

著者的思想說的更清楚些應該是這樣：

對於乙個m位整數，我們可以把0到n之間的n+1個整數從小到大這樣來排列：

000......0

.............

199......9

200......0

299......9

.........

這樣一直排到自然數n。對於從0到199......9這個區間來說，拋去最高位的數字不看，其低m-1位恰好

就是m-1個0到m-1個9共10^(m-1)個數。利用原著中的遞推公式，在這個區間裡，每個數字出現的次數

（不包括最高位數字）為(m-1)*10^(m-2)。假設n的最高位數字是x，那麼在n之間上述所說的區間共有

x個。那麼每個數字出現的次數x倍就可以統計完這些區間。再看最高位數字的情況，顯然0到x-1這些

數字在最高位上再現的次數為10^(m-1)，因為乙個區間長度為10^(m-1)。而x在最高位上出現次數就是

n%10程式設計客棧^(m-1)+1了。接下來對n%10^(m-1)，即n去掉最高位後的那個數字再繼續重複上面的方法。直到

個位，就可以完成題目要求了。

比如，對於乙個數字34567，我們可以這樣來計算從1到34567之間所有數字中每個數字出現的次數：

從0到9999，這個區間的每個數字的出現次數可以使用原著中給出的遞推公式，即每個數字出現4000次。

從10000到19999，中間除去萬位的1不算，又是乙個從0000到9999的排列，這樣的話，從0到34567之間

的這樣的區間共有3個。所以從00000到29999之間除萬位外每個數字出現次數為3*4000次。然後再統計

萬位數字，每個區間長度為10000，所以0,1,2在萬位上各出現10000次。而3則出現4567+1=4568次。

之後，拋掉萬位數字，對於4567，再使用上面的方法計算，一直計算到個位即可。

下面是自己的實現**：

void statnumber_iterative(int n) ;

int pow10[12] = ;

char d[16];

len = log10(n); /* len表示當前數字的位權 */

m = len;

sprintf(d, "%d", n);

k = 0; /* k記錄當前最高位數字在d陣列中的下標 */

h = d[k] - '0'; /* h表示當前最高位的數字 */

n %= pow10[len]; /* 去掉n的最高www.cppcns.com位 */

while(len > 0)

for(i = 0; i < 1www.cppcns.com0; i++)

for(i = 0; i < h; i++)

count[h] += n + 1;

--len;

h = d[++k] - '0';

n %= pow10[len];

} for(i = 0; i <= h; i++)

/* 減去前導0的個數 */

for(i = 0; i <= m; i++)

for(i = 0; i < 10; i++)

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