自動機初步

參考資料1

參考資料2

字串的下標從 \(0\) 開始。\(|s|\) 表示字串 \(s\) 的長度。

對於字串 \(s\)，記其每乙個字元分別為 \(s_0, s_1, \cdots, s_\)。

子串 \(s_l, s_, \cdots, s_, s_r\) 簡記為 \(s[l:r]\)。特別地，若 \(l=0\)，可記作 \(s[:r]\)；若 \(r=|s|-1\)，可記作 \(s[l:]\)。

對於字串 \(a, b\)，\(a+b\) 表示拼接操作，即將字串 \(b\) 拼接到字串 \(a\) 之後，構成新的字串。

記構成的新字串為 \(c\)，則上述拼接操作記為 \(c\gets a+b\)。

其中符號 \(x\gets y\) 表示將 \(y\) 的值賦給 \(x\)。

不論是字元還是字串，皆不加引號。

首先，我們需要明確自動機的概念。一般來說，oi中我們會接觸到的都是確定有限狀態自動機（dfa）。

dfa可以看成一張有向圖，圖上的節點稱為狀態（\(q\)），而從乙個狀態到另乙個狀態的有向邊稱為轉移。轉移方式由轉移函式（\(\delta\)）進行規定。

dfa有乙個起始狀態（\(start\)）和若干個接受狀態（\(f\)）。當我們把規定字符集（\(\sigma\)）中字元組成的字串輸入該dfa時，dfa會從起始狀態開始，依照轉移函式，逐個字元進行轉移。

若最終停在了接受狀態，稱該dfa接受該字串；否則稱該dfa不接受該字串。

從這裡可以看出，dfa就是用來識別字串的。

接下來我們對轉移函式進行形式化定義。轉移函式的形式為 \(\delta(u,c)=v\)。其中 \(u,v\) 都是狀態，而 \(c\) 代表字串中的字元。

如果我們不能從 \(u\) 狀態由字元 \(c\) 轉移到任何乙個狀態，我們稱 \(\delta(u,c)=\text\)。\(\text\) 不是接受狀態，且不能轉移到接受狀態，只能轉移到 \(\text\)。

我們還可以擴充套件轉移函式的定義，讓其第二個引數稱為字串，此時轉移函式的意義就為從 \(u\) 狀態開始，依次按照字串中字元進行轉移，最終到達的狀態。

形式化地，\(\delta(u,s)=\delta(\delta(u,s_0),s[1:])\)。

然而dfa理論並沒有幫助我們解決問題。

因此這裡我們討論一些實際應用中簡單的dfa。

trie樹就是最簡單的dfa。