極大極小定理

首先，本定理針對的是 hermitian 矩陣，即共軛對稱矩陣。因為只有共軛對稱矩陣的特徵值是確定為實數值的，其他矩陣很可能是復數值，而復數值，也就不存在大小關係了。

courant-fisher min-max 定理

對於 $n \times n$ 的矩陣 $\mathbf$ , 有:

其中， $\lambda_$ 是第 $k$ 小的特徵值。

由於 $\mathbf$ 是共軛對稱矩陣，所以根據共軛對稱矩陣的特徵分解的性質，選定其特徵向量 $ u_, \ldots, u_ $ 作為一組正交基。

現在，若有該 $n$ 維空間的乙個子空間 $u$ ，其維度為 $k$ , 和子空間 $\operatorname\left(u_, \ldots, u_\right)$ (我們假設 $u_, \cdots, u_$ 對應的特徵值為公升序排列)，必定存在乙個交集。這一點其實可以這樣證明：首先 $u$ 的維度是 $k$ , 而 $\operatorname\left(u_, \ldots, u_\right)$ 的維度是 $n-k+1$ 。也就是說，兩者的維度之和大於 $n$ 。因此，必定存在乙個非零的交集。（這一點其實可以這樣判斷：如果維度之和剛好是 $n$ ，那可能兩個子空間剛好由一組正交基的兩部分擴充套件二成，是沒有交集的。但和為 $n+1$ ，如果沒有交集，就說明這個空間其實應該有 $n+1$ 個正交基，這是違背的。沒有想明白的讀者，可以根據 3 維空間來想像： 3 維空間的兩個二維子空間，必有交集。而 $3$ 維空間的 $1$ 個二維子空間和 $1$ 個一維子空間，是可以沒有交集的。)

因此，假設 $v$ 是交集上的乙個元素，即，既屬於子空間 $u$ 又屬於子空間 $\operatorname\left(u_, \ldots, u_\right)$ 。那麼， $x \in \operatorname\left(u_, \ldots, u_\right)$ , 因此有:

$x=\sum \limits _^ \alpha_ u_$

(由於 $\|x\|=1$ , 有 $\sum \limits _^ \alpha_=1$ )

那麼，$x^ \mathbf x=\sum \limits _^ \alpha_^ u_^ \mathbf u_=\sum\limits _^ \lambda_ \alpha_^ \geq \lambda_$

不等號**於我們認為 $\lambda_ \geq \lambda_, \forall i>k$

即:$\underset \geq \lambda_$

對於所有子空間 $u$ 都成立。即：

$ \underset(u)=k} \;\;\underset \geq \lambda_$

這時候，我們再證另一半:

顯然，空間 $v=\operatorname\left\, \ldots, u_\right\} $ 作為選擇的 $k$ 維空間，有：

$x^ \mathbf x \leq \lambda_$

這個結論過於明顯，不做解釋了。

也就是說，

$\underset x^ \mathbf x \leq \lambda_$

而 $v $ 顯然是 $k$ 維的子空間 $u$ 之一，因此：

$\underset(u)=k} \;\;\underset \leq \lambda_$

所以有:

$\lambda_= \underset(u)=k} \;\;\underset x^ \mathbf x$

參考：維基百科

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