水池抽樣演算法

有這樣一類問題， 就是大資料流中的隨機抽樣問題，即：

當記憶體無法載入全部資料時，如何從包含未知大小的資料流中隨機選取k個資料，並且要保證每個資料被抽取到的概率相等。

高效,即節省記憶體的使用

盡量隨機地返回值

假如我們去掉限制1，可以很簡單地做出來：我們將所有資料載入進記憶體，計算鍊錶長度，然後通過random函式來求取幾個隨機數。

但是這樣的效率並不高，把所有資料載入到記憶體，如果資料非常大可能會導致無法計算。

注意題目中有乙個說明，就是鍊錶。鍊錶這種資料結構是通過資料節點首尾相連形成的鏈式儲存結構。

既然是鍊錶，那麼可以乙個乙個節點處理，不需要將所有資料載入到記憶體，乙個節點乙個節點去處理，這還不夠形象，將題目換個形式來表述：

我們有大量的文字檔案存在硬碟中,想隨機抽取幾行,保證盡可能少得使用記憶體並且能夠完全隨機.

如何再取回行對應的資料呢？我們可以再遍歷一遍，一邊遍歷一邊記錄這一行的行數是不是在k個隨機數中，如果是，則將該行內容保留。

這樣的話遍歷兩次應該可以做到，但是資料量大的時候遍歷兩次的時間消耗是非常高的。

所以還有更好的方案嗎,那就是水塘抽樣演算法。

對於複雜問題一定要學會歸納總結，即從小例子入手，然後分析，得出結論，然後在證明。不然遇到乙個抽象問題，不舉例感覺這個問題，直接解還是比較難的。

接下來從 k = 1 開始說明

k = 1

首先考慮最簡單的情況，當 k = 1 時，如何選取：

這樣就可以看出，對於k=1的情況，我們可以制定這樣簡單的抽樣策略：

在取第n個資料的時候，我們生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於等於1/n，保留第n個數。大於1/n，繼續保留前面的數。直到資料流結束，返回此數。資料流中第 i 個數被保留的概率為 1/i 。只要採取這種策略，只需要遍歷一遍資料流就可以得到取樣值，並且保證所有數被選取的概率均為 1/n 。

1)　當n=1時，第乙個元素以1/1的概率返回，符合條件。

2)　假設當n=k時成立，即每個元素都以1/k的概率返回，先證明n=k+1時，是否成立。

對於最後乙個元素顯然以1/k+1的概率返回，符合條件，對於前k個資料，被返回的概率為1/k * (1- 1/k+1)=1/k+1，滿足題意。

綜上所述，結論成立。

**

1

class
solution:
2def
__init__
(self, head: optional[listnode]):
3         self.head =head45
def getrandom(self) ->int:
6         node, i, ans = self.head, 1, 0
7while
node:
8if randrange(i) == 0:  #
1/i 的概率選中（替換為答案）
9                 ans =node.val
10             i += 1
11             node =node.next
12return ans

k ＞１

當 k>1時，即為水塘抽樣。

對於k>1的情況，我們可以採用類似的思考策略：

有了k =1 的理解，我們可以直接替換結論，只需把上面的 1/n 變為 k/n 即可。策略如下：

在取第n個資料的時候，我們生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於等於 k/n，替換池中任意乙個為第n個數。大於k/n，繼續保留前面的數。直到資料流結束，返回此k個數。但是為了保證計算機計算分數額準確性，一般是生成乙個0到n的隨機數，跟k相比，道理是一樣的。

1）初始情況k<=n，出現在水庫中的k個元素的出現概率都是一致的，都是1

2）第一步。第一步就是指，處理第k+1個元素的情況。分兩種情況：元素全部都沒有被替換；其中某個元素被第k+1個元素替換掉。

我們先看情況2：第k+1個元素被選中的概率是k/(k+1)（根據公式k/i），所以這個新元素在水塘**現的概率就一定是k/(k+1)（不管它替換掉哪個元素，反正肯定它是以這個概率出現在水塘中）。

下面來看水塘中剩餘的元素出現的概率，也就是1-p(這個元素被替換掉的概率)。水塘中任意乙個元素被替換掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1個元素被選中，然後自己在集合的k個元素中被選中。

那它出現的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出來，舊元素和新元素出現的概率是相等的。

情況1：當元素全部都沒有替換掉的時候，每個元素的出現概率肯定是一樣的，這很顯然。但具體是多少呢？就是1-p(第k+1個元素被選中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。

3）歸納法：重複上面的過程，只要證明第i步到第i+1步，所有元素出現的概率是相等的即可。

**

1 vector reservoirsampling(vector& results, vector& nums, intk)2

1011
for (int i=k; ii) 16}
1718
return
results;
19 }

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