設v=是代數系統，∘為二元運算，如果∘運算是可結合的，則稱v為半群（代數系統的前提不要忘，詳情可看第九章）
如果半群中有單位元==>含么半群|獨異點
含么半群還有逆元==>群通常記作g
群中的二元運算可交換==>交換群|阿貝爾群
特徵：1.滿**換律
2.每個元素都是自己的逆元
3.a, b, c中任何兩個元素運算結果都等於剩下的第三個元素
只有單位元
群中元素有限
如果把群看成集合，子群就是子集中能滿足群定義的 乙個集合（可以有多個集合）
群是代數系統，最基本要滿足封閉性！
真子群就類似真子集
設g為群，h是g的非空子集. h是g的子群當且僅當∀a,b∈h 有ab−1∈h（感覺很懵逼） 證 必要性顯然. 只證充分性. 因為h非空，必存在a∈h. 根據給定條件得aa−1∈h，即e∈h. 任取a∈h, 由e,a∈h 得 ea−1∈h，即a−1∈h. 任取a,b∈h，知b−1∈h. 再利用給定條件得a(b−1) −1∈h，即 ab∈h. 綜合上述，可知h是g的子群.
設g為群，a∈g，令h=，則h是g的子
群，稱為由 a 生成的子群，記作
klein四元群 g = 的所有生成子群是：
=, =,=, =.
則偏序集< l(g), ⊆ >稱為g的子群格
就相當於子群先變成偏序集然後就滿足了格的定義？
因為是子群所以叫子群格？
設h是g的子群，a∈g.令
ha=稱ha是子群h在g中的右陪集. 稱a為ha的代表元素.
相當於右（左）乘a所得的集合？
設g是群，若在g中存在乙個元素a,使得g中
的任意元素都是a的冪，則稱該群為迴圈群，
元素a為迴圈群g的生成元。記g =.
生成子群就是乙個迴圈群！
g 的子群也是迴圈群
若g 是無限階，則g 的子群除外也是無限階 （是1階）
若g 是n 階的，則對於n 的每個正因子d,
在g 中有且僅有乙個d 階子群.
設s＝，s上的任何雙射函式σ：s→s稱為s上的n元置換。可以理解為雙射函式....
設σ,τ是n元置換，則σ和τ的復合σ°τ也是n元置換，稱為σ與τ的乘積，記作στ。就是雙射函式的復合函式...
設 π ∈ sn, π : i1 → i2 , i2 → i3, ⋅⋅⋅, ik → i1 ，並使其餘的元
素保持不變，則稱 π 為乙個k階迴圈置換，記為(i1 i2⋅⋅⋅ ik )
由於(i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ik ) = (i2 i3 ⋅⋅⋅ ik i1 ) = ⋅⋅⋅ = (ik i1 i2 ⋅⋅⋅ ik-1 ), 因此乙個k階迴圈置換有k種表示方式，且k階迴圈置換的階為k
1階迴圈置換只有 1 種表示方式，即恒等置換（i）可視作 (i,i) 但是一階迴圈置換
2階迴圈置換又稱為對換
對換分解式：(i1 i2…ik) = (i1 i2) … (i1 ik-1) (i1 ik)
奇置換：表成奇數個對換之積
偶置換：表成偶數個對換之積
奇置換與偶置換之間存在一一對應，因此各有n!/2個
設g是群，a∈g，使得等式a^k=e成立的最小正整數k 稱為a 的階，記作|a|=k，
稱a 為 k 階元. 若不存在這樣的正整數k，則稱a 為無限階元
群的階 <==> 群的基數<==> 群中元素的個數
設是代數系統，+和·是二元運算. 如果滿足
以下條件:
(1) 構成交換群
(2) 構成半群| 代數系統中只有結合率
(3) · 運算關於+運算適合分配律| 有分配率
則稱是乙個環
一般有整數環，實數環，複數環，有理數環...
如果半群==>有交換率|環==>交換環 （有交換律的半群不一定是交換群！！！）
如果半群存在單位元環==>環|含么環
若∀a,b∈r，ab=0 ⇒ a=0∨b=0，則稱r是無零因子環 懵？？？
若r既是交換環、含么環、無零因子環，則稱r是整環
設r是整環，且r中至少含有兩個元素. 若∀a∈r*，其中r*=r−，都有a－1∈r，則稱r是域
都是概念沒啥感覺
第十章 函式
使用def關鍵字 定義個數可變的位置形參 定義個數可變的關鍵字形參 定義預設值引數 定義個數可變的位置形參 deffun1 args 結果為乙個元組 print args fun1 10,20,30 10,20,30 定義個數可變的關鍵字形參 deffun2 args 結果為乙個字典 print a...
第十章 屬性
z屬性 本章也比較簡單稍作介紹 無參屬性就是我們常見的屬性 可以封裝屬性 以執行緒安全方式訪問 有參屬性就是c 中的所引器 匿名型別 如圖遇到如下 具體點就是 上面的注釋也已經講清楚了，定義的型別之後，構造例項，然後初始化屬性。現在詳細說下 編譯器接收到 上圖 先用var 定義乙個型別，但是不具體指...
第十章 屬性
目錄 10.1 無參屬性 10.2 有參屬性 10.3 呼叫屬性訪問器方法時的效能 10.4 屬性訪問器的可訪問性 10.5 泛型屬性訪問器方法 物件導向設計和程式設計的重要原則之一就是資料封裝，意味著型別的字段不應該公開，否則很容易因為不恰單使用欄位而破壞物件的狀態。可將屬性想象成智慧型字段，即背...