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字首和 與 差分可以理解為互逆的 ， 求字首和 跟 差分通常設陣列首項下標為1，方便思考的計算。
對於一維陣列 a[n] , 存在陣列 sum[n],使得 sum[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]
以o(1)的時間複雜度得到某塊區間的總和
舉個例子：
輸入乙個長度為 n 的整數序列。
接下來再輸入 m 個詢問，每個詢問輸入一對 l,r。
對於每個詢問，輸出原序列中從第 l 個數到第 r 個數的和。
常規演算法 是兩遍for迴圈求區間和，題目範圍小還可以接受，若是開到1e5+，必然會爆int的。所以這裡使用字首和讓時間複雜度降到o(1)
一維字首和相對較簡單，不做過多介紹
如果陣列變成二維陣列又該怎麼做呢，做法與一維字首和相類似，只是多了個容斥原理
如果我們要求給定座標的字首和，如圖
若果我們要求（3，3）的字首和 ， 先算出（3，2），（2，3）的和，再減去圖中紅綠交匯的部分即（2，2） ，再加上座標（3，3）的數值，就可以求出（3，3）的和
因此，二維字首和公式：s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] +a[i][j]
那麼怎麼求任意矩陣任意位置座標的和呢
比如
我們要求(x1,y1)到（x2,y2）字首和，那麼就是求圖中紅色區域，那麼用（x2,y2)的字首和（3*3矩陣）- 綠色區域 - 藍色區間 + 綠蘭交匯區域
因此，求任意區域的字首和公式也很容易得出：
很典型的二維字首模板題
思路 ： 先求字首和 ， 再利用公式ans = s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]求出答案即可
**如下
# include using namespace std ;
const int n = 1e3 + 10 ;
int a[n][n];
int sum[n][n];
int main()
while (t --)
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
return 0 ;
}
同樣，a陣列是b陣列的字首和陣列，那麼b是a的差分陣列。
那麼a陣列中a[i][j]是b陣列左上角(1,1)到右下角(i,j)所包圍矩形元素的和。
如何構造二維差分陣列
對於差分，我們始終要記住，b[i][j]的改變會影響a[i][j]及其之後的元素。
若b陣列已經構造好，讓指定區域的元素加上c
b[x1][y1] + = c;
b[x1][y2+1] - = c;
b[x2+1][y1] - = c;
b[x2+1][y2+1] + = c;
我們畫個圖來理解一下
比如我們要改變的區間是在(x1,y1)到(x2,y2)
首先對b[x1][y1]+c ，就是圖中紅色區域。
再對綠色和紫色區域操作: b[x1][y2+1] - c ,b[x2+1][y1] - c.
又因為粉色重疊部分多減了一次，再加上 b[x2+1][y2+1] + c。
再詳細分析一下
我們要求這個區域：
必然先要求這個區域：
再求這兩個區域：
最後減去交匯的區域
我們對原始陣列進行區域增減，實際上就是對b陣列的增減,通過這個方法創造差分陣列。
方法：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
就等同於對原始陣列進行修改
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++)
for (int j = 1; j <= m ; j ++)
a[i][j] += c;
和上面講的思路完全一樣，直接上**
#include using namespace std;
const int n = 1000 + 10;
int a[n][n];
int b[n][n];
int n, m, q;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
int main()
}while(q--)
for(int i = 1; i <= n; i++)
}for(int i = 1; i <= n; i++)
printf("\n");
}return 0;
}注意a是b的字首和， b[i][j] = a[i][j] - a[i-1][j] - a[i][j-1] + a[i-1][j-1]，移項就能求出a[i][j]。
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