用\(n\)點復序列快速傅利葉變換來計算\(2n\)點實序列的離散傅利葉變換。
假設\(x(n)\)是長度為\(2n\)的實序列，其離散傅利葉變換為
\[x(k)=\sum_^x(n)w_^ \ , \ k=0,1,...,2n-1
\]為有效地計算傅利葉變換\(x(k)\), 我們將\(x(n)\)分為偶數組和奇陣列，形成兩個新序列\(x(n)\)和\(g(n)\)，即
\[\left\\beginf(n)&=x(2n)\\ g(n)&=x(2n+1)\end\end\right. , n=0,1,...,n-1
\]然後將\(f(n)\)和\(g(n)\)組成乙個復序列\(h(n)\)
\[h(n)=f(n)+jg(n), \ n = 0,1,...,n-1
\]用fft計算\(h(n)\)的\(n\)點傅利葉變換\(h(k)\), 並且\(h(k)\)可表示為
\[h(k)=f(k)+jg(k), \ n = 0,1,...,n-1
\]由上容易推出
\[\left\\beginf(k)&=\frac[h(k)+h^(n-k)]\\ g(k)&=-\frac[h(k)-h^(n-k)]\end\end\right. , n=0,1,...,n-1
\]求得\(f(k)\)和\(g(k)\)後，利用下面的蝶形運算計算\(x(n)\)的離散傅利葉變換\(x(k)\)
\[\left\\beginx(k)&=f(k)+g(k)w_^\\ x(k+n)&=f(k)-g(k)w_^\end\end\right. , n=0,1,...,n-1
\]這種實序列fft演算法比相同長度的復序列fft演算法大約可減少一半的運算量。
是用c語言實現實序列快速傅利葉變換的方法如下：
/************************************
x ----長度為n。開始時存放要變換的實資料，最後存放變換結果的前n/2+1個值，
其儲存順序為[re(0),re(1),...,re(n/2),im(n/2-1),...,im(1)]。
其中re(0)=x(0),re(n/2)=x(n/2)。根據x(k)的共軛對稱性，很容易寫
出後半部分的值。
n ----資料長度，必須是2的整數次冪，即n=2^m。
************************************/
#include "math.h"
#include "stdlib.h"
#include "fft.c"
void rlfft(double *x, int n)
fft(f, g, n1, 1);
x[0] = f[0] + g[0];
x[n1] = f[0] - g[0];
for(i = 1; i < n1; i++)
free(f);
free(g);
}
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