在區間(a, b)上，f(x)和g(x)都可導、g
′(x) ≠ 0、limx → a
+f(x) = limx → a
+g(x) = 0，
$$\lim_}\frac = \lim_}\frac\left( x \right)}\left( x \right)} $$
證明：設f(a)=g(a)=0，則有limx → a
+f(x) = f(a) = 0、limx → a
+g(x) = g(a) = 0，所以這個定義使得f(x)和g(x)在[a, b)上連續。取任意的x ∈ (a, b)，由於f(x)和g(x)在[a, x]上滿足使用柯西中值定理的條件，所以有
$$\frac = \frac\left( c \right)}$$
因為f(a)=g(a)=0，所以
$$\frac = \frac\left( c \right)}$$
x → a
+時，因為c在(a, x)上，所以c → a
+，所以
$$\lim_}\frac = \lim_}\frac\left( c \right)}\left( c \right)} = \lim_}\frac\left( c \right)}\left( c \right)} = \lim_}\frac\left( x \right)}\left( x \right)} $$
詳解洛必達法則
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