希爾伯特符號
希爾伯特符號常用於類域論中。對於域\(q_v\)，\(v\)為素數或無窮（令\(q_\infty = r\)），它的定義如下：
\[(a, b)_v = \begin
1 & 如果ax^2 + by^2 = 1在q_v^*上有解\\
-1 & 如果ax^2 + by^2 = 1在q_v^*上無解
\end\]
乙個等價的說法是\((a,b) = 1\)當且僅當\(b\)為域擴張\(q_v[\sqrt]/q_v\)中某個元素的範數。換句話說，存在\(\alpha + \beta \sqrt \in q_v[\sqrt]\)滿足\(b= n(\alpha + \beta \sqrt) = \alpha^2 - \beta^2 a\)。這樣一來，
希爾伯特符號有以下性質：
\[(a, b) = (b, a)
\]\[(a, c^2) = 1
\]\[(a, -a) = 1
\]\[(a, 1-a) = 1
\]\[(a, b_1b_2) = (a, b_1)(a, b_2)
\]希爾伯特符號的計算公式
\(r\)上的希爾伯特符號比較簡單，有
\[(a,b)_\infty = \begin
1 & a > 0或b > 0\\
-1 & a < 0且b < 0
\end\]
要討論\(q_p\)上的希爾伯特符號，我們先定義兩個函式
\[\epsilon(x) = \frac(\mod 2)
\]\[\omega(x) = \frac(\mod 2)
\]則\(a = p^\alpha u, b = p^\beta v\)的希爾伯特符號計算如下：
\[(a,b)_p = \begin
(-1)^ & p = 2\\
(-1)^\left(\frac\right)^\beta\left(\frac\right)^\alpha &p\neq 2
\end\]
希爾伯特符號的積
作為計算公式的乙個應用，我們令\(v\)為所有的素數以及無窮組成的集合，則
\[\prod_(a, b)_v = 1
\]換句話說，滿足\((a, b)_v = -1\)的\(v\)如果有限必定是偶數個。
根據上文中希爾伯特符號的性質，我們只需用希爾伯特符號的計算公式計算\(a,b\)是\(-1\)或是不同素數的情形。令\(p, q\)是奇素數，
\[(-1, p)_2 = (-1, p)_p = (-1)^
\]\[(2, p)_2 = (-1)^
\]\[(2, p)_p = \left(\frac\right) = (-1)^
\]\[(p,q)_2 = (-1)^
\]\[(p,q)_p = \left(\frac\right)，(p,q)_q = \left(\frac\right)
\]由二次互反律
\[\left(\frac\right) \left(\frac\right) = (-1)^
\]得到積必定為\(1\)。
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