二叉查詢樹

1、二叉搜尋樹（b樹）

一棵二叉搜尋樹（bst）是以一棵二叉樹來組織的，可以用鍊錶資料結構來表示，其中，每乙個結點就是乙個物件，一般地，包含資料內容key和指向孩子（也可能是父母）的指標屬性。如果某個孩子結點不存在，其指標屬性值為空（nil）。

二叉搜尋樹中的關鍵字key的儲存方式總是滿足二叉搜尋樹的性質：

設x是二叉搜尋樹中的乙個結點。如果y是x左子樹中的乙個結點，那麼會有y.key<=x.key；如果y是x右子樹中的乙個節點，那麼有y.key>=x.key。

二叉搜尋樹上基本操作所花費的時間與這棵樹的高度成正比，對於有n個結點的一棵完全二叉樹而言，這樣的操作的最壞執行時間是o(lgn)。然而如果這棵樹是一條n個結點組成的線性鏈，那麼操作需要花費的時間為0(n)。

由圖可以看出，對於遇到的每個結點x，都會比較x.key與k的大小，如果相等，就終止查詢，否則，決定是繼續往左子樹還是右子樹查詢。因此，整個查詢過程就是從根節點開始一直向下的一條路徑，若假設樹的高度是h，那麼查詢過程的時間複雜度就是o(h)。

查詢二叉搜尋樹

//遞迴實現  
tree_search(x, k):  
if x == nil or x.key == k :  
return x  
if k < x.key  
return tree_search(x.left, k)  
else return tree_search(x.right, k)

//非遞迴迭代實現  
tree_search(x, k) :  
while x!=nil and k!=x.key:  
if k < x.key  
x = x.left  
else x = x.right  
return x

最大關鍵字元素和最小關鍵字元素通過樹根開始沿著left孩子指標一直到nil，可以找到最小元素。

tree-minmum(x)
while x.left != nil
x = x.left
return x

同樣的方法可以找到最大值。

tree-maxmum(x)
while x.right!= nil
x = x.right
return x

查詢最小值和最大值的方法均能夠在o(h)的時間內完成。

後繼和前驅

都在利用之前的部分，通過找x的右子樹找到後繼，通過找x的左子樹找到前驅。找前驅和找後繼的方法是相同的。

tree_successor(x):  
if x.right != nil  
return tree_minnode(x.right)  
y = x.p  
while y!=nil and x == y.right  
x = y  
y = y.p  
return y

插入操作當需要插入乙個新結點時，從根節點開始，迭代或者遞迴向下移動，直到遇到乙個空的指標nil，需要插入的值即被儲存在該結點位置。這裡給出迭代插入演算法，遞迴方式的比較簡單。

tree_insert(t, z):  
y = nil  
x = t.root  
while x != nil  
y = x  
if  z.key < x.key  
x = x.left  
else x = x.right  
z.p = y  
if y == nil  
t.root = z  
else if z.key < y.key  
y.left = z  
else y.right = z

刪除操作二叉搜尋樹的節點刪除比較複雜，可以分為三種情況：

1、如果z沒有孩子節點，那麼直接刪除，並修改父節點，用nil代替z；

2、如果z只有乙個孩子，那麼將這個孩子節點提公升到z的位置，並修改z的父節點，用z的孩子替換z；

3、如果z有兩個孩子，那麼查詢z的後繼y（y一定在z的右子樹中），然後用y替換z。

對於情況3，可以繼續細分為2種情況：

1.z的後繼y位於右子樹中，但是沒有做孩子，也就是說y的是後繼。

2.z的後繼位於z的右子樹中，但是並不是z的右孩子，此時，用y的右孩子替換y，然後用y替換z。

二叉查詢樹

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樹（樹，二叉樹，二叉查詢樹）

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