劍指Offer對答如流系列 斐波那契數列

寫乙個函式，輸入n，求斐波那契（fibonacci）數列的第n項。斐波那契數列的定義如下：

直接寫遞迴的話，是絕對ok的，但是你要明白乙個道理，凡是遞迴能夠完成的，遞推也能夠，而且效能還要優於遞迴，但是遞推寫起來總要難於遞迴。

對於斐波那契數列型別的習題，如果你要直接寫遞迴函式(通常的那種遞迴，後面會有優化)，會出現比較多的重複計算，加之遞迴深度消耗的空間複雜度和時間複雜度代價是比較大的。

這裡遞推的寫法可以解決斐波那契數列遞迴寫法的弊端。

我們採用從下往上計算，把計算過了的值儲存起來，下次參與計算直接使用：先由f(0)和f(1)計算f(2)，再由f(1)和f(2)計算f(3)……以此類推就行了，計算第n個時，只要儲存第n-1和第n-2項就可以了。

遞推解法：

public class fibonacci 

return result;}}

根據公式，如果你想求f(n)，只需要對矩陣求(n-1)次方即可，但此時時間複雜度仍為o(n)。利用遞迴的思路計算乘方，即可將時間複雜度降低為o(logn)。這裡給出對乘方函式的遞迴**

乘方的性質的性質如下

matrix2by2 matrixpower(unsigned int n)

else if(n % 2 == 0)
else if(n % 2 == 1)
return matrix;
}

斐波那契數列的變形有很多。

比如劍指offer後面的拓展：青蛙跳台階問題和矩形覆蓋問題，希望當你分析一些問題的時候，腦海裡有斐波那契數列的數學模型。

（1）拓展題目1：青蛙跳台階

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法。

將跳法總數記為f(n)

f(1)=1

f(2)=2

當n>2時，第一次跳1級的話，還有f(n-1)種跳法；

當n>2時，第一次跳2級的話，還有f(n-2)種跳法

f(n)=f(n-1)+f(n-2)的遞推式能夠悟出來吧。

(2) 拓展題目2：矩形覆蓋問題

用n個21的小矩形無重疊地覆蓋乙個2n的大矩形，總共有多少種方法？

當n = 1時，有一種方法。

當n = 2時，有兩種方法。

當n >= 3時，和斐波那契數列類似。

第一步豎著放，有f(n-1)種方法；第一步橫著放，有f(n-2)種方法。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

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