在第一章的1.2.6節，有公式（1.68）
\[p(t | x, \mathbf, \mathbf)=\int p(t | x, \boldsymbol) p(\boldsymbol | \mathbf, \mathbf) \mathrm \boldsymbol
\]這個公式實際上是在貝葉斯框架下對回歸\(t=y(x,w)\)進行推斷，即給出了新的\(x\)（注意粗體的區別，\(\mathbf\)是測試集的樣本，這部分資訊是已知的）下，我們對t的後驗概率進行推斷。
\[lhs=p(t | x, \mathbf, \mathbf)=\int p(t,\boldsymbol|x,\mathbf, \mathbf)d\boldsymbol\]而
\[\beginrhs&=\int p(t | x, \boldsymbol) p(\boldsymbol | \mathbf, \mathbf)\mathrm \boldsymbol\\ &=\int p(t|x,\boldsymbol,\mathbf, \mathbf)p(\boldsymbol | \mathbf, \mathbf,x)\mathrm \boldsymbol\\&=\int p(t,\boldsymbol|x,\mathbf, \mathbf)\mathrm \boldsymbol\end
\]第二個等式成立是因為
在1.5.1節，給出了錯誤分類率的公式
\[\beginp(\text ) &=p\left(\boldsymbol \in \mathcal_, \mathcal_\right)+p\left(\boldsymbol \in \mathcal_, \mathcal_\right) \\&=\int__} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol+\int__} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol\end
\]書中直接給出結論，要使得錯誤分類率最小，應該分給後驗概率\(p(c_k|x)\)最大的類別中。
推導過程如下：
對於最優的\(\mathcal_, \mathcal_\)，只要滿足它的犯錯概率小於其他所有的決策區域\(\mathcal_』, \mathcal_』\)下的犯錯概率即可。
\[\beginp(\text ) &=p\left(\boldsymbol \in \mathcal_, \mathcal_\right)+p\left(\boldsymbol \in \mathcal_, \mathcal_\right) \\&=\int__} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol+\int__} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol\end
\]\[\beginp'(\text ) &=p\left(\boldsymbol \in \mathcal_』, \mathcal_\right)+p\left(\boldsymbol \in \mathcal_』, \mathcal_\right) \\&=\int__』} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol+\int__』} p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) \mathrm \boldsymbol\end
\]對兩個做差，得到
\[p(mistake)-p'(mistake) \\=\int__\cap \mathcal_』 } (p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) -p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) )\mathrm \boldsymbol+\int__\cap \mathcal_』 } (p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) -p\left(\boldsymbol, \mathcal_\right) )\mathrm \boldsymbol
\]那麼我們只需要
由於$p\left(\boldsymbol\right) $是相同的，上述兩個公式等價於：
而任意\(\mathcal_\cap \mathcal_』\)其實就是\(\mathcal_\)，任意\(\mathcal_\cap \mathcal_』\)其實就是\(\mathcal_\)
所以最優的分配規則就是，如果\(p\left(\boldsymbol| \mathcal_\right) \le p\left(\boldsymbol|\mathcal_\right)\)就分配到第一類上，如果\(p\left(\boldsymbol| \mathcal_\right) \le p\left(\boldsymbol|\mathcal_\right)\)就分配到第二類上。
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