三色樹需要深度思考的樹形dp

給出乙個n個節點的無根樹，每條邊有非負邊權，每個節點有三種顏色：黑，白，灰。

乙個合法的無根樹滿足：樹中不含有黑色結點或者含有至多乙個白色節點。

現在希望你通過割掉幾條樹邊，使得形成的若干樹合法，並最小化割去樹邊權值的和。

第一行乙個正整數n，表示樹的節點個數。

第二行n個整數ai，表示i號節點的顏色，0 表示黑色，1表示白色，2表示灰色。

接下來n-1行每行三個整數xi yi zi，表示一條連線xi和yi權為zi的邊。

輸出乙個整數表示其最小代價。

5 0 1 1 1 0

1 2 5

1 3 3

5 2 5

2 4 16

10樣例解釋：

花費10的代價刪去邊(1, 2)和邊(2, 5)。

20%的資料滿足n≤10。

另外30%的資料滿足n≤100,000，且保證樹是一條鏈。

100%的資料滿足n≤300,000，0≤zi≤1,000,000,000，ai∈。

其實明眼人都能看出這是樹形dp，可是當我們仔細去思考該維護什麼時，我們就陷進去了。因為我們所想的任何方法的維護都十分的複雜，很容易給人一種思路錯了的錯覺。可是這題確確實實就是這麼複雜，很多人想得到方向，卻無法深入，接下來分析一下。

我們要維護的是3類情況(用f來表示)：

1.f[i][0]表示以i為根節點的子樹在切割後不含黑點的最小代價；

2.f[i][1]表示以i為根節點的子樹在切割後不含白點的最小代價；

3.f[i][2]表示以i為根節點的子樹在切割後含乙個白點的最小代價；

按這樣分之後答案就是根節點s三個值的最小值

接下來考慮轉移方程：

1.當col[i](即該點顏色)=0時，明顯不符合無黑點，所以f[i][0]=inf(無窮大)；而當col[i]!=0時，這時要考慮斷邊情況，很容易可以列得

$f[i][0]= \sum_$min(f[son][0],min(f[son][1],f[son][2])+w)<--w為邊權

2.當col[i]=1時，同樣的不符合無白點，所以f[i][1]=inf；而當col[i]!=1時，這時要考慮斷邊情況，一樣可以列得

$f[i][1]= \sum_$min(f[son][1],min(f[son][0],f[son][2])+w) (2與1幾乎一模一樣)

3.當col[i]=1時，這時該點已經是乙個白點了，所以方程式和2情況的第二種一樣。剩下最後一種情況(最複雜的一種)，即col[i]!=1時，這時我們直接處理的話會列出一長串，但我們可以和f[i][1]結合起來，我們只要從最後算出的f[i][1]中減去一種min(f[son][1],min(f[son][0],f[son][2])+w)再加上f[son][2]就能維護乙個白點的情況，同樣的，我們要使f[i][2]最小化，而最終的

f[i][1]又是個定值，所以我們要最大化min(f[son][1],min(f[son][0],f[son][2])+w)+f[son][2].

所以最終方程式為：$f[i][2]= f[i][1](最終的)-max(min(f[son][1],min(f[son][0],f[son][2])+w)-f[son][2]).<--減號是因為加了個括號

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6
using
namespace
std;
7#define debug printf("zjyvegetable\n")
8#define int long long
9 inline int
read()
12while(isdigit(c))
13return a*b;14}
15const
int n=4e5+50,m=2e6+50,inf=123456789012345678;16
int n,col[n],tot,vis[n],h[n],ver[m],nx[m],ed[m],f[n][3
],t[m],top;
17void add(int u,int v,int
z)21 inline void dfs(int
x)34
else
if(col[x]==1)38
else43}
44if(col[x]!=1)f[x][2]=f[x][1]-maxn;45}
46signed main()
54for(int i=1;i)
59     dfs(1
);60     printf("
%lld\n
",min(f[1][0],min(f[1][1],f[1][2
])));
61return0;
62 }

由於這題資料有長鏈，所以要用人工棧，而筆者由於懶而只打了dfs，拿不到全部分，望理解。

後來筆者在某題被迫學了人工棧，所以回來填坑了，這裡補一下人工棧部分**：

void fake_dfs(int
begin)
vis[x]=1
;        }
else
else
if(col[x]==1
)                
else
}if(col[x]!=1)f[x][2]=f[x][1]-maxn;}}
}

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動態規劃三色二叉樹

BZOJ 1864 三色二叉樹樹DP

ZJOI 2006 三色二叉樹

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