在各種演算法中，向量計算是最經常使用的一種操作之中的乙個。傳統的向量計算，學過中學數學的同學也能明確怎麼做。但在如今的大資料環境下。資料一般都會比較稀疏，因此稀疏向量的計算，跟普通向量計算。還是存在一些不同。
首先，我們定義兩個向量： a=
[x1,
x2,⋯
,xn]
b=[y1,y
2,⋯,
yn]
定義a、b的點積為a∗
b，要求a∗
b=?最直接的方式，當然就是按中學時候就學過的方法： a∗
b=x1
∗y1+
x2∗y
2+⋯+
xn∗y
n 先不考慮乘法與加法的差別，也不考慮計算精度問題。假設按上述方式進行計算。總共進行了n次乘法，n-1次加法，總複雜度為2n-1。矩陣乘法的基本計算單元是向量之間的乘法，複雜度為n3
。在如今的大資料環境之下，n可能會非常大，比方在計算廣告，或者文字分類中，上百萬維都是非常正常的。並且這樣的向量都有乙個特點，那就是非常稀疏。
假設沒有非常稀疏這個特點，那後面自然就無從談起了。。。
對於稀疏向量。自然而然的能夠想到按一下方式進行儲存： a:
b: 由於是稀疏向量。所以 i≪
n,j≪
n詳細在計算a*b的時候，能夠在向量a中迴圈，然後在向量b中進行二分查詢。比如，在向量a中取出第乙個非零元素。假設為
,loc
atio
n1>
，在b中對location1進行二分。假設找到，計算乘積。假設找不到。自然為0.
那我們來估算一下演算法的複雜度。在b中二分的複雜度為lo
gj，a的長度為
i,則這部分的總複雜度為il
ogj，加法的最大情況為mi
n(i,
j)−1
,總的複雜度為il
ogj+
min(
i,j)
−1當然，假設我們知道
i ,
j 的大小。能夠在小的向量上迴圈，在大的向量上二分，這樣複雜度能夠減少為 mi
n(i,
j)lo
g(ma
x(i，
j))+
min(
i,j)
−1假設咱們不用二分查詢，而是使用hash，則二分查詢部分能夠變為hash。假設hash的複雜度為1，那麼總的複雜度為2m
in(i
,j)。當然。我們忽略了建立hash的複雜度。以及hash碰撞的複雜度。
這樣，總的複雜度就由最初的2n
−1降到了2mi
n(i,
j)。假設n特別特別大，比方鳳巢系統動不動就是號稱上億維度。這樣i,j也不會特別小。假設是兩個矩陣相乘。咱們前面提到的。複雜度為n3
，這樣就必須上平行計算了。
搞資料的同學，對並行肯定不陌生，這裡不再細述了。
以上都是理論分析，為了驗證實際中的執行效果。特意編寫了一部分測試**。測試**例如以下
#!/usr/bin/env python
#coding:utf-8
'''created on 2023年4月22日
@author: lei.wang
'''import time
#二分查詢
defbin_search
(num,list):
low = 0
high = len(list) - 1
while(low <= high):
middle = (low + high) / 2
if list[middle] > num:
high = middle - 1
elif list[middle] < num:
low = middle + 1
else:
return middle
return -1
deft1
(): all = 1000000
sparse_rate = 1000
vec_a = [0
for i in range(all)]
vec_b = [0
for i in range(all)]
list_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
for i in list_none_zero:
vec_a[i] = vec_b[i] = 1
sum = 0
#a,b分別不為0的位置
location_a = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]
location_b = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]
start = time.clock()
for i in location_a:
location = bin_search(i, location_b) #相應a不為0的位置。在b不為0的位置陣列中查詢是否存在
if location != -1:
sum += vec_a[i] * vec_b[location_b[location]] #假設存在，將結果相加
end = time.clock()
print
"cost time is:",(end-start)
print
"sum is:",sum
deft2
(): all = 1000000
sparse_rate = 1000
vec_a = [0
for i in range(all)]
vec_b = [0
for i in range(all)]
list_of_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
for i in list_of_none_zero:
vec_a[i] = vec_b[i] = 1
sum = 0
start = time.clock()
for i in range(all):
sum += vec_a[i] * vec_b[i]
end = time.clock()
print
"cost time is:",(end-start)
print
"sum is:",sum
if __name__ == '__main__':
t1()
print
print
t2()
在mac上執行以上**。結果例如以下：
cost time
is: 0.002319
sum is: 1000
cost time
is: 0.123861
sum is: 1000
106的複雜度。二分查詢的方式應該是103
∗log
1000
，即10
4 左右的複雜度。二分查詢的方式比遍歷的方式應該要快100倍左右。
依據咱們實驗的結果來看，數量級上來說基本是差點兒相同的。假設採取一些優化方式。比方用python自帶的binset模組,應該會有更快的速度。
假設改變上述**中的稀疏度，即改變sparse_rate的數值，比如將sparse_rate由1000改為10000，執行的結果例如以下：
cost time
is: 0.000227
sum is: 100
cost time
is: 0.118492
sum is: 100
cost time
is: 0.034885
sum is: 10000
cost time
is: 0.124176
sum is: 10000
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