洛谷P4514 上帝造題的七分鐘

「第一分鐘，x說，要有矩陣，於是便有了乙個裡面寫滿了 $0$ 的 $n \times m$ 矩陣。

第二分鐘，l說，要能修改，於是便有了將左上角為 $(a,b)$，右下角為 $(c,d)$ 的乙個矩形區域內的全部數字加上乙個值的操作。

第三分鐘，k說，要能查詢，於是便有了求給定矩形區域內的全部數字和的操作。

第四分鐘，彩虹喵說，要基於二叉樹的資料結構，於是便有了資料範圍。

第五分鐘，和雪說，要有耐心，於是便有了時間限制。

第六分鐘，吃鋼琴男說，要省點事，於是便有了保證運算過程中及最終結果均不超過32位有符號整數型別的表示範圍的限制。

第七分鐘，這道題終於造完了，然而，造題的神牛們再也不想寫這道題的程式了。」

——《上帝造裸題的七分鐘》

所以這個神聖的任務就交給你了。

輸入資料的第一行為 $x$

$n$

$m$，代表矩陣大小為 $n \times m$。

從輸入資料的第二行開始到檔案尾的每一行會出現以下兩種操作：

$l$

$a$

$b$

$c$

$d$

$delta$ —— 代表將 $(a,b)$,$(c,d)$ 為頂點的矩形區域內的所有數字加上 $delta$。

$k$

$a$

$b$

$c$

$d$ —— 代表求 $(a,b),(c,d)$ 為頂點的矩形區域內所有數字的和。

請注意，$k$ 為小寫。

針對每個 $k$ 操作，在單獨的一行輸出答案。

x 4 4

l 1 1 3 3 2

l 2 2 4 4 1

k 2 2 3 3

對於 $10\%$ 的資料，$1 \leq n \leq 16, 1 \leq m \leq 16$ , 操作不超過200個.

對於 $60\%$ 的資料，$1 \leq n \leq 512, 1 \leq m \leq 512$.

對於 $100\%$ 的資料，$1 \leq n \leq 2048, 1 \leq m \leq 2048, -500 \leq delta \leq 500$ ,操作不超過200000個,保證運算過程中及最終結果均不超過32位帶符號整數型別的表示範圍。

挺「模板」的題，但感覺思想很巧妙。

二維樹狀陣列。

先考慮一維的情況，則題中操作類似區間修改，區間查詢

眾所周知樹狀陣列的一大經典功能是區間修改，單點查詢

我們設出乙個差分陣列 $d$，設原陣列為 $a$，則 $d[i]=a[i]-a[i-1]$

有 $a[n]=\sum\limits_^n d[i]$

那麼區間修改「 $[l,r]$ 加上 $c$ 」，對於差分陣列，其實只需 $d[l]+=c$ ，和 $d[r+1]-=c$，也就是單點修改

「單點查詢」查的是 $a[i]$ ，也就是 $d$ 的字首和，用樹狀陣列維護 $d[i]$ 的某些區間的和即可。

區間查詢 $\sum\limits_^r a[i]$ ，需要的就不只是 $d[i]$ 的字首和了。

先把查詢分成 $\sum\limits_^r a[i] -\sum\limits_^ a[i] $

然後把式子拆開：

\[\begin

\begin

\sum\limits_^n a[i] &= \sum\limits_^n \sum\limits_^i d[j] \\

&= \sum\limits_^n d[i] \times (n-i+1) \\

&= (n+1)\sum\limits_^n d[i] - \sum\limits_^n d[i] \times i

\end

\]於是我們需要用兩個樹狀陣列分別維護 $d[i]$ 及 $d[i] \times i$ 的某些區間的和。

同樣還是差分，差分陣列 $d[i][j]$ 滿足 $a[n][m] =\sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j]$

那麼對於乙個左下角 $(a,b)$ 右上角 $(c,d)$ 的矩形加上 $z$ ，其實就是 $d[a][b]+=z$，$d[c+1][d+1]+=z$ ，$d[a][d+1]-=z$，$d[c+1][b]-=z$

可以理解成 $d[i][j]$ 的值對所有它右上角的矩形的 $a$ 有影響。

把每個矩陣查詢拆開，$\sum\limits_^c \sum\limits_^d a[i][j]=\sum\limits_^c \sum\limits_^d a[i][j]-\sum\limits_^c \sum\limits_^ a[i][j]-\sum\limits_^ \sum\limits_^d a[i][j] + \sum\limits_^ \sum\limits_^ a[i][j]$

然後再拆——

\[\begin

\begin

\sum\limits_^n \sum\limits_^m a[i][j] &= \sum\limits_^n \sum\limits_^m \sum\limits_^i \sum\limits_^j d[k][l] \\

&= \sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j] \times (n-i+1) \times (m-j+1) \\

&= (n+1)(m+1)\sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j] -(m+1) \sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j] \times i -(n+1) \sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j] \times j + \sum\limits_^n \sum\limits_^m d[i][j] \times i \times j

\end

\]維護4個樹狀陣列即可。

**很是簡短。

#include#include#includeusing namespace std;
int read()
const int n = 2050;
int n,m;
int c[n][n],ci[n][n],cj[n][n],cij[n][n];
void add(int x,int y,int d)
}int sum(int x,int y)
int main()
else printf("%d\n",sum(c,d)+sum(a-1,b-1)-sum(a-1,d)-sum(c,b-1));	}	
return 0;
}

洛谷P4514 上帝造題的七分鐘

洛谷P4514 上帝造題的七分鐘

洛谷4514 上帝造題的七分鐘（二維樹狀陣列）

上帝造題的七分鐘2

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上帝造題的七分鐘2

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