LCA之倍增簡單講解

lca之倍增簡單講解

lca代指least common ancestor，翻譯過來就是最近公共祖先

如下圖，x和y的最近公共祖先就是二號節點

那麼，如何來求這個最近公共祖先呢？

1.暴力演算法

讓x和y一步一步向上爬，一直爬到相遇為止

x: 4->3->2

y: 6->5->2

可是這樣暴力實在是太慢了，我們要想辦法優化它

於是就有了倍增求解lca

2.倍增

倍增的意思就是按二的此方遞增，比如： 1->2->4->8->16......

在x與y向上爬找祖先時，我們不用每次向上爬乙個，而是向上爬2^n個，這樣程式的效率會高很多

怎麼倍增呢？我們需要從大到小跳，比如： 32->16->8->4...... 為什麼不是從小到大？應為可能會跳過，出現「悔棋」的情況

舉個例子：

我們要求x(5號節點)與y(10號節點)的 lca

倍增的時候，我們發現y的深度比x的深度要小，於是現將y跳到8號節點，使他們深度一樣：

這個時候，x和y的深度就相同了，於是我們按倍增的方法一起去找lca

我們知道n（10）之內最大的二的次方是8，於是我們向上跳8個單位，發現跳過了。

於是我們將8/2變成4，還是跳過了。

再將4/2變成2，跳到了0號節點。

雖然這時跳到了lca,但是如果直接if（x==y）就確定的話，程式無法判斷是剛好跳到了還是跳過了，應為跳過了x也等於y

於是我們需要剛好跳到lca的兒子上，然後判斷if（x的爸爸==y的爸爸）來確定lca

由於每乙個數都可以分解為幾個2^n的和（不信自己試），所以他們一定會跳到lca的兒子上

於是我們就找到了lca啦！

3.預處理

明白了基本思路之後，我們就開始寫程式了

可是在寫lca之前，我們還得進行預處理

要處理些什麼呢？

1.每乙個點的深度，以便到時候判斷

2.每乙個點2^i級的祖先，以便到時候倍增跳

於是我們用乙個dep陣列來記錄每乙個點的深度，再用乙個fa[i][j]表示節點i的2^j級祖先

dep陣列的更新就是他爸爸的深度+1，但是如何更新fa陣列呢？

fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

這個式子是什麼意思呢?

fa[i][j]就是i的2^j級祖先，那fa[i][j-1]就是i的2^（j-1）級祖先。

又因為我們知道2^(j-1)+2^(j-1)=2^j，i的2^（j-1）級祖先的2^（j-1）級祖先 就是i的2^j級祖先。

這就是這句話的意思。**如下：

void dfs(int x,int

father) //x為當前節點，father為他的爸爸
for(int i=0;i) //列舉與他相鄰的邊（我用的是vector存圖）
} return
;}

int lca(int u,int

v) //u,v就相當於先講的x和y
}if(u==v) //如果u剛好等於v,即他們已經變成了同乙個點
for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--) //(int)(log(n)/log(2))就是n以內最大的2的次方，從最大的開始倍增
}return fa[u][0
]; //返回他們的爸爸，即是lca   
}

#include #include 

#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int maxn=500005
;vector 
e[maxn];
int n,m,s,dep[maxn],fa[maxn][21
];int read() //
快讀     
while
(isdigit(ch))
return ans*flag; 
} void dfs(int x,int father) //
x為當前節點，father為他的爸爸
for(int i=0;i//
列舉與他相鄰的邊（我用的是vector存圖）
} return;}
int lca(int u,int v) //
u,v就相當於先講的x和y
}if(u==v) //
如果u剛好等於v,即他們已經變成了同乙個點
for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--) //
(int)(log(n)/log(2))就是n以內最大的2的次方，從最大的開始倍增
}return fa[u][0]; //
返回他們的爸爸，即是lca   
}int
main()
dfs(s,
0); //
預處理 
for(int i=1;i<=m;i++)
return0; 
} 

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LCA倍增講解

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