APIO2010 特別行動隊

apio2010 特別行動隊

【題目描述】

你有一支由 n 名預備役士兵組成的部隊，士兵從1到n編號，要將他們拆分成若干特別行動隊調入戰場。出於默契的考慮，同一支特別行動隊中隊員的編號應該連續，即為形如(i, i + 1, …, i + k)的序列。

編號為 i 的士兵的初始戰鬥力為 xi ，一支特別行動隊的初始戰鬥力 x為隊內士兵初始戰鬥力之和，即 x = xi + xi+1 + … + xi+k。

通過長期的觀察，你總結出一支特別行動隊的初始戰鬥力 x將按如下經驗公式修正為x'：x' = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c是已知的係數（a

作為部隊統帥，現在你要為這支部隊進行編隊，使得所有特別行動隊修正後戰鬥力之和最大。試求出這個最大和。

例如，你有4名士兵， x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4。經驗公式中的引數為 a = –1, b = 10, c = –20。此時，最佳方案是將士兵組成 3個特別行動隊：第一隊包含士兵1和士兵2，第二隊包含士兵3，第三隊包含士兵 4。特別行動隊的初始戰鬥力分別為4, 3, 4，修正後的戰鬥力分別為 4, 1, 4。修正後的戰鬥力和為 9，沒有其它方案能使修正後的戰鬥力和更大。

【輸入檔案】

輸入由三行組成。第一行包含乙個整數 n，表示士兵的總數。第二行包含三個整數 a, b, c，經驗公式中各項的係數。第三行包含 n 個用空格分隔的整數 x1, x2, …, xn，分別表示編號為1, 2, …, n的士兵的初始戰鬥力。

【輸出檔案】

輸出乙個整數，表示所有特別行動隊修正後戰鬥力之和的最大值。

【輸入樣例】

4 -1 10 -20

2 2 3 4

【輸出樣例】

9【資料範圍】

20%的資料中，n ≤ 1000；

50%的資料中，n ≤ 10,000；

100%的資料中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤

10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100。

【題目分析】

首先看到題目就可以知道這是一道動態規劃，然而樸素的n^2演算法只能拿到20分。

首先，對於這個題來說，其決策是單調的，這樣我們就可以用單調性把時間複雜度優化到nlogn，實踐證明這樣可以過7~8個點。

然後決策單調了，我們就會想到斜率……

設對於f[i]，由k決策更新比j決策更優，且k

f[j]+a*(si-sj)^2+b*(si-sj)+c

轉化過程略，最後可以化為如下式子：

2*a*si>[(s*sj^2-b*sj+f[j])-(a*sk^2-b*sk+f[k])]/(sj-sk)

設g[i]=a*si^2-b*si+f[i]，那麼我們就可以把si作為橫座標，g[i]作為縱座標來表示斜率，這樣就可以維護乙個凸形的曲線，每次把隊首斜率小於2*a*si的點出隊，用隊首的點計算f[i]和g[i]，再用g[i]去維護佇列曲線的凸形。

【**實現】

code

1
program
test1;
2var s,f,g:array[0..1000000]of
int64;
3     d:array[0..1000000]of
longint;
4t,w,i,j,n:longint;
5a,b,c:int64;
6function
xl(i,j:longint):extended;
7begin
8     exit((g[j]-g[i])/(s[j]-s[i]));
9end;10
begin
11readln(n);
12readln(a,b,c);
13for i:=1
to n do
14begin
15read(s[i]);
16         inc(s[i],s[i-1
]);17
end;
18     t:=0;w:=0;d[0]:=0;g[0]:=0;19
for i:=1
to n do
20begin
21while (tand(xl(d[t],d[t+1])>=2*a*s[i]) do
inc(t);
22         j:=d[t];
23         f[i]:=f[j]+a*sqr(s[i]-s[j])+b*(s[i]-s[j])+c;
24         g[i]:=a*sqr(s[i])-b*s[i]+f[i];
25while (w>t)and(xl(d[w],i)>xl(d[w-1],d[w])) do
dec(w);
26inc(w);
27         d[w]:=i;
28end;29
writeln(f[n]);
30end.

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