written with stackedit by xhey.考慮利率相關問題時首先應明確三點。第一是時間單位，一期是指乙個月，乙個季度，半年還是一年。通常以實際利率（effective interest rate）所對應的時間長度為一期；第二是觀察點的選擇，同樣的現金流因為觀察點的不同可能對其積累也可能對其折現，一般來說觀察點不同得到的現值也不同；第三是收支平衡原則，在既定利率和時間段的情況下，在同一時點的支出和收入的價值應該相等。
其次要熟練運用等價轉換思想。\(1\) 次的實際支付可以轉化為 \(n\) 次的虛擬支付，\(n\) 次的實際支付可以轉化為 \(1\) 次的虛擬支付。
最後一般需要用線段圖來表示現金流，以便理解。
目錄終值函式（積累因子）：單位本金在第\(t\)期的積累值為\(a(t)\)
現值函式（折現因子）：\(t\)期後的單位積累值在目前的現值\(v(t) = a^(t) = \frac \)
總量函式：\(a(0) = k，a(t) = a(0)a(t)，a(t) = ka(t)\)
利息率就是單位本金每期產生的利息。
第\(t\)期的實際利率\(i_t = \frac = \frac \)
\(a(t) = a(0)(1+i_1)(1+i_2) \ldots (1+i_t)\)
單利：\(a(t) = 1 + it\)
\[i_t = \frac = \frac
\]複利：\(a(t) = ( 1 + i )^t\)
\[i_t = \frac = i
\]單利不會影響本金，而複利會使本金增加；單利在超過一期之後實際利率遞減，而複利的實際利率是常數，因此在使用複利計算時結果與觀察點的選擇無關。
在相同情況下複利的終值一定大於單利的終值嗎?\[\begin
(1 + i)^t \gt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, t \gt 1 )\\
(1 + i)^t \lt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, 0 \lt t \lt 1 )
\end
\]一般情況下，若每期計息1次是為實際利率，每期計息2次及以上是為名義利率。
\(\frac 1m\)期實際利率的\(m\)倍稱為每期計息\(m\)次的名義利率，記為\(i^\)，因此\(\frac 1m\)期的實際利率為\(\frac}\)，則
\[\bbox [5px, border:1px solid black]
} \right)^m}\]
當\(m \to \infty\)時有，\(\lim \limits_ \left(1 + \frac} \right)^m = e^} = 1+i \rightarrow i^ = \log(1+i)\)
貼現是持票人以未到期票據向銀行貼付一定利息兌取資金的行為。單位本金因這種提前兌取行為損失的利息就叫做貼現率。
小明有一張到期後可以收回10000塊的票據。距到期日還有1年時，小明想將這張票據抵押給銀行以換取現金，此時的貼現率為2.5%。對小明來說，他需要支付10000*2.5% = 250塊的貼息，從銀行拿到10000-250 = 9750塊的現金。對銀行來說，他現在需要支付給小明9750塊，一年後收回10000塊，這250塊是利息，利息率為（10000-9750）/ 9750 = 2.56%.第\(t\)期的實際貼現率\(d_t = \frac = \frac\)
\(a(0) =a(t)(1-d_1)(1-d_2) \ldots (1-d_t)\)
單貼現：\(a(t) = (1-dt)^\)
\[d_t = \frac = \frac
\]復貼現：\(a(t) = (1-d)^\)
\[d_t = \frac = d
\]與利息率相似的，單貼現不會影響終值，而復貼現會使終值減少；單貼現在超過一期之後實際貼現率遞增，而復貼現的實際貼現率是常數，在使用復貼現率計算時結果也與觀察點的選擇無關。
單貼現的現值一定比復貼現的現值高嗎？\[\begin
(1-d)^t \gt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，t \gt 1)\\
(1-d)^t \lt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，0 \lt t \lt 1)
\end
\]一般情況下，若每期貼息1次是為實際貼現率，每期貼息2次及以上是為名義貼現率。
\(\frac 1n\)期實際貼現率的\(n\)倍稱為每期貼息\(n\)次的名義貼現率，記為\(d^\)，因此\(\frac 1n\)期的實際貼現率為\(\frac}\)，則
\[\bbox [5px, border:1px solid black]
} \right)^n}\]
當\(n \to \infty\)時有，\(\lim \limits_ \left(1 - \frac} \right)^n = e^} = 1-d \rightarrow d^ = \log(1-d)\)
利息力\(\delta _t = \frac = \frac = \left( \lim \limits_ \frac \right) / a(t) = \left( \lim \limits_ \frac \right) / a(t)\)
\(\delta_t\)反映了在時刻\(\mathbf t\)單位本金產生的利息，可以表示產生利息的強度。利息的產生受到了三個因素的影響——初值、時間長度、利息率。如果想要比較產生利息的強度，應該消除初值和時間的影響。在上式中導數消除了時間的影響，再除以\(a(t)\)就消除了初值的影響，因此利息力可以作為衡量利息產生強度的標準。
通過利息力我們可以估算終值：\(a(t_2) = a(t_1) \delta_ (t_2 - t_1)\)，其中\(\delta t = t_2 - t_1\)越小越好。也可以計算終值：\[\begin
\delta_t & = & \frac \\[2ex]
\delta_t & = & \frac \log a(t)\\[2ex]
\delta_t dt & = & d \log a(t)\\[2ex]
\int_0^t \delta_s ds & = & \int_0^td \log a(s)\\[2ex]
\log a(t)|_0^t & = & \int_0^t \delta_s ds\\[2ex]
a(t) & = & a(0)e^\\[2ex]
a(t) & = & e^\\[2ex]
\end
\]將\(0，t\)分別替換為\(t_1，t_2\)可以得到下面這個推廣的式子：
\[a(t_2) = a(t_1)e^^ \delta(s) ds}
\]如果把\(t_1，t_2\)看作沒有大小關係，那麼上面的這些公式同樣可以用來求現值。
當\(\delta\)不隨時間變化時，我們有
\[\bbox [5px, border:1px solid black]
= (1-d)^}\]
利息率、貼現率和利息力之間的關係
\[d \lt d^ \lt d^ \lt \cdots \lt \delta \lt \cdots \lt i^ \lt i^ \lt i
\]用影象表示就是這個樣子滴（\(i = 5\%\))
把以上帶框的公式鏈結起來有
\[(1+ \frac)^m = 1+i = e^ \delta = (1-d)^ = (1-\frac)^
\]\[(1+ \frac)^ = (1+i)^= e^ = 1-d = (1-\frac)^n
\]
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