伽瑪函式(gamma function)作為階乘
的延拓，是定義在複數範圍內的亞純函式
，通常寫成γ(x).
當函式的變數是正整數時，函式的值就是前乙個整數的階乘，或者說γ(n+1)=n!。
伽瑪函式表示式：γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (積分的下限是0,上限是+∞)
利用分部積分法(integration by parts)我們可以得到 γ(x)=（x-1)*γ(x-1) ，而容易計算得出γ(1)=1,
由此可得, 在正整數範圍有：γ(n+1)=n!
在概率的研究中有乙個重要的分布叫做伽瑪分布： f(x)=λe^(-λx)(λx)^(x-1)/γ(x) x>=0 =0 x<0
函式表示式：右圖
γ(x+1)=xγ(x)，γ(0)=1，γ(1/2)=√π，對正整數n，有γ(n+1)=n！，γ(1-x)γ(x)=π/sin(πx) 對於x>0,伽馬函式是嚴格凸函式。
伽馬函式是亞純函式，再復平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函式在-k處的留數為(-1)^k/k!
伽瑪函式的自然對數的微分稱為digamma函式，記為ψ(x)=d(lnγ(x))/dx=γ'(x)/γ(x)。
digamma函式同調和級數相關，其中ψ(n+1)=h_n(x)-γ=1+1/2+...+1/n-γ,其中γ=lim_ (1+1/2+...+1/n-ln(n))是尤拉常數。
而對於任意x有 ψ(x+1)= ψ(x)+1/x。
在複數範圍內，digamma函式可以寫成 ψ(x+1)=-γ+σx/(n(n+x)).
而digamma函式的泰勒展開式為 ψ(x+1)=-γ-σζ(n+1)(-x)^n,其中函式ζ(x)為黎曼zeta函式，是關於黎曼猜想的乙個重要函式。
類似伽瑪函式，digamma函式可以有漸進式: ψ(x)=ln(x)-1/(2x)-σb_/(2n*x^)
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