演算法錄之複雜度分析。

乙個演算法的複雜度可以說也就是乙個演算法的效率，一般來說分為時間複雜度和空間複雜度。。。

注意接下來說的均是比較yy的，適用與acm等不需嚴格分析只需要大致範圍的地方，至於嚴格的演算法複雜度分析的那些數學證明，主定理什麼的在《演算法導論》這本書上有十分詳細的講解，網上應該也會有人寫過，這裡就不多說了（其實，是我不會而已o(╯□╰)o。。。）。

— 到底啥是複雜度呢？先來個栗子。

小明有10個蘋果，有一天他餓了，然後準備吃掉乙個蘋果，但是小明有中二病，他要吃裡面重量最大的那個，於是。。。他需要乙個找到那個最大的，可是這應該怎麼找呢？

小明要先量一下第乙個蘋果多重，然後第二個多重，然後量第三個。。。一直到第十個，量的時候記錄當前最重的那個，然後當找完了這十個就好了。。。

下面來看看這個神奇的找蘋果演算法的複雜度，有10個蘋果，所以需要測量10次才能找到，如果有100個蘋果，顯然需要測量100次，1000個呢，1000次，n個也就需要n次。

下面設n為問題的規模，f(n)為運算次數，那麼對於小明這個問題來說 f(n)=kn，k是乙個常數，這個例子 k=1。（看到如此眼熟的高中數學氣息有沒有啥感覺。。。）

— 不用多說就知道如果需要的運算次數多的話，需要花費的時間也就多，所以這就是時間複雜度了，對於上面那個問題的時間複雜度就是 f(n) 了。

— 但是。。。對於乙個問題的常數 k 是比較難搞定的，可能稱一下蘋果的重量需要一步操作，也可能兩步，也可能好幾步。所以對於時間複雜度的分析一般是去找漸進複雜度。簡單說就是函式 f(n) 省略了常數和低次項，只留下最高次項。比如函式 6n^3+3n^2+2n+10 變成了 n^3 ，因為當n很大很大的時候，變化趨勢就是 n^3 型的，再比如 2^n+n^5 就變成了 2^n，因為指數**嘛。。。

— 這裡還要說說符號 o，o 和 θ，這三個應該高數課會講。。。o( f(n) ) 表示函式的上界，也就是乙個一直比 f(n) 大的函式，然後 o 就是下界，至於 θ 的話，叫做中界（我yy的乙個名字）？也就是和 f(n) 的增長速度一樣。。。不過一般來說之後的分析都是用 o 的，因為這個字母好寫。。。餓，其實可以理解為因為o是上界，所以演算法遇到再壞的情況也不會超過這個函式。

— 對於乙個演算法來說一般常用的漸進複雜度函式有 o( n ) o( n^2 ) o( n^3 ) o(1) o( 2^n ) o( n!) o( log n) o( n*logn ) o( n*2^n ) 差不多這些，注意 log 指以2為底的對數。。。函式圖就像下面這樣：

— 然後分別比較看看哪種複雜度更好，顯然 o（1）是最好的，因為不管問題的規模有多大，都能一下子得到答案。。。然後看看 o（n），小明的問題就是這個複雜度的，如果問題規模是n，需要執行n次，顯然已經不錯了，挺快的了。。。但是還有乙個更快的，o（log n）的，如果n=1000000 那麼才只需要執行 20次不到就能得到答案，但是 o（n）的卻需要執行1000000次，你說哪個快。

舉個栗子：

要求輸入乙個n，然後算 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2的值。

那麼先說一種做法，直接for迴圈，**如下：

#include using
namespace
std;
intmain()

顯然這種演算法的複雜度是 o (n) 的，因為執行了 n 次嘛。（注意 n 比較大的時候結果會超過 int 的表示範圍，具體看 acm錄常識與錯誤那篇文章有說。）

然後看看第二種做法：推出公式來。1^2+2^2+。。。+n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6

所以第二種做法就是

#include using
namespace
std;
intmain()

這就是 o ( 1 ) 的複雜度了，那麼哪個快就不說了。。。

— 至於後面的 o( n^2 ) o( n^3 ) o( 2^n ) 啊啥的，也是這樣算，上面那些裡面複雜度最高，效率最差的應該是 o（n!），如果 n 是10，就需要執行 3628800 次，這效率，不多說了。。。

— 上面說的是執行的次數，然後說說時間，對於現在的個人計算機來說，速度大約是一秒能執行10000000（7個0）次多，這個可以自己寫個程式感受一下，for迴圈10000000次或者更多看看。。。一般來說如果只有加減法 100000000（8個0）次也很快，但是如果有了除法或者其他東西會慢一點。。。

#include using
namespace
std;
intmain()

— 然後對於乙個題目來說一般限制了1秒啊2秒啊啥的，那麼如果題目的資料規模是100000，那麼如果採用的演算法是 o（n^2）的，那麼就需要執行 10000000000次，也就需要大約1000秒，顯然超時了。。。如果演算法是 o（n log n）的，那麼大約是 1700000 次還是可以接受的。。。至於 o（n） o（1） o（log n）啥的就更不用說了。。。所以說解乙個題目的話要注意資料範圍和時間限制。。。

— 這裡順便說下常數吧，之前都是把常數忽略了然後看的是乙個大致的增長函式。但是如果常數很大，比如演算法只有乙個 for 迴圈，但是裡面有1000次運算，那麼雖然他的複雜度是 o（n）的，但是對於100000的規模需要執行100000000次，也就很可能會超時了。。。所以當常數比較大的時候要注意看看。。。

— 至於空間複雜度的話，也就是用的空間的多少和資料規模n的函式，但是因為這個不是很常用而且和時間複雜度幾乎差不多，就不多說了。。。

— 那麼怎麼算複雜度呢，在一些演算法和數學的書上有十分嚴格的數學方法。。。然而，平時不需要的。。。

— 其實靠肉眼看看就差不多知道了，看看有幾個迴圈，大致估算一下執行多少次，然後就知道了。。。這些當寫**前想演算法的時候其實就已經大致了解了。。。

— 當然這裡對於存在遞迴的演算法，就比較麻煩了，這裡建議大家學了一些基本的演算法之後再來看，因為這裡實在是找不到簡單的例子。這裡有乙個主定理（名字就叫主定理），用來計算遞迴的函式的複雜度計算。比如說乙個演算法是把問題分成兩個小問題，然後在花費 g(n) 的複雜度來合併兩個小問題得到大問題的解。那麼函式差不多是 f(n)=2*f(n/2)+g(n) 至於 f(n) 怎麼推，就可以用上面的那個主定理（這裡可以去網上找找這個定理學習一下），其實。。。也可以先猜一下，然後帶入那個等式看看行不行。。。

— 經典的遞推比如 f(n)=2f(n/2)+n 的複雜度就是 o(n log n)。。。所以如果 g(n) 如果比 o(n) 要好的話，顯然最後的複雜度會比 o(n log n)更好。。。

— 另外還有一些複雜度分析比如均攤分析就更喪心病狂了，這種分析是找平均值，期望值啥的，通過概率或者是其他什麼東西證明執行比如100次的平均複雜度一定不會高於乙個數，所以平均就是多少多少的，這個的話就不詳細多說了，之後學習比較高階的演算法的時候才會接觸到。。。（其實是我不會。。。）

複雜度分析感覺就這些東西，其實大部分演算法的複雜度是一眼就能看出來，當然也有一些需要仔細分析這個演算法的各種情況才行。。。

演算法錄之複雜度分析。

演算法分析之複雜度

資料結構之複雜度分析

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