已知數列\(\\)滿足\(2a_=1-a_n^2\)，且\(0．求證：當\(n\geqslant 3\) 時，\(\left|\dfrac-\left(\sqrt 2+1\right)\right|
解答:設迭代函式\(f(x)=\dfrac 12\left(1-x^2\right)\)，那麼函式的不動點為\(x=\sqrt 2-1\)，乙個保值區間是\(\left[0,\dfrac 12\right]\)．
考慮到\(0，於是\(0，從而\(\dfrac 38．
由不動點改造遞推數列得$$|a_-(\sqrt 2-1)|=\dfrac 12|a_n-(\sqrt 2-1)|\cdot|a_n+\sqrt 2-1|\dfrac,$$也即$$a_n>\dfrac,n\geqslant 3.$$事實上，當\(n\geqslant 3\) 時，有$$a_n>\dfrac 38>\dfrac,$$於是原命題得證．
評:此類不動點題型，在做之前就有乙個潛台詞：\(a_n\)的範圍可以通過作圖可以做題前得到,後面問你的東西可以由這個潛台詞去構造。