(2023年清華大學自主招生暨領軍計畫試題)
已知$x,y,z\in \mathbf$，滿足$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$，則下列結論正確的有（ ）
a．$xyz$的最大值為$0$
b．$xyz$的最小值為$-\dfrac$
c．$z$的最大值為$\dfrac$
d．$z$的最小值為$-\dfrac$
答案:a.b.d
由$x+y+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$，可知$xy+yz+zx=0$．設$xyz=c$，則$x,y,z$是關於$t$的方程$$t^3-t^2-c=0$$的三個實根．
令$f(t)=t^3-t^2-c$，利用導數可得$$\beginf\left(0\right)=-c\geqslant 0,\\f\left(\dfrac\right)=-\dfrac-c\leqslant 0,\end$$
所以$-\dfrac\leqslant c=xyz \leqslant 0$，等號顯然可以取到．
故選項a，b都對．
因為$$(x+y)^2=(1-z)^2\leqslant 2\left(x^2+y^2\right)=2\left(1-z^2\right),$$所以$-\dfrac\leqslant z \leqslant 1$，等號顯然可以取到．
故選項c錯，選項d對
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