(2018中科大自招最後一題)
設$a_1=1,a_=\left(1+\dfrac\right)^3(n+a_n)$證明:
證明:1)數學歸納法，略.
$k=1$時候顯然成立,$k\ge2$時有如下漂亮的連乘積放縮：
\begin
\prod\limits_^n\left(1+\dfrac\right)&=\prod\limits_^n\left(1+\dfrac^\frac)}\right)\\
&&=\prod\limits_^}\\
&<2\prod_^}\\
&=\dfrac\\
&<3
\end
如果證明$<8$則變為一道難度降為高考題的題，可以解答如下：
由於\begin
\sum\limits_^n\dfrac& =\sum\limits_^n\dfrac^\frac\right)} \\
& &=\sum\limits_^n\dfrac\\
&&=2-\dfrac\\
&<2
\end
故\begin
\prod\limits_^n\left(1+\dfrac\right)& \le\left(\dfrac^n})}\right)^n \\
& &改為$<8$後本質上考察了下面這個重要的極限：
$\lim\limits_)^n}=e$
練習:證明存在:$n\in n,\prod\limits_^n\left(\dfrac\right)