我們可以用fft、ntt計算多項式乘法：
\[c(k)=\sum_a(i)*b(j)
\]但是計算不了這種玩意：
\[c(k)=\sum_a(i)*b(j)
\]或者這種東東：
\[c(k)=\sum_a(i)*b(j)
\]或者這種：
\[c(k)=\sum_a(i)*b(j)
\]所以乙個演算法應著時代的需求誕生了：
過程多項式或運算是用來快速做這條式子的：
\[c(i)=\sum_a(j)*b(k)
\]其具體思想其實和fft差不多，首先先把多項式a轉化為點值表達，然後再快速運算。
然後再轉回插值。這樣完成乙個演算法流程。然鵝我們如何快速dft這個醜陋的式子呢？
拿出流程圖：
一樣三部曲：
如何找出類似於fft的點值乘法
我們這裡並不考慮去什麼點值插值，我們只需要一些簡單的數論變換即可得到我們所要求的東東。
同樣的思路，考慮把a轉化成另外乙個東東，假設叫做\(fwt(a)\)，其滿足可以快速求出\(fwt(c)=fwt(a)*fwt(b)\)。算出來之後還可以快速轉化回\(a\)，也就是\(ifwt\)逆變換。
首先我們觀察柿子：\(i|j=k\)，我們發現，由於是或運算，看到或運算就應該拆位（這個套路真的好用）。
那麼拆完位就可以得到乙個結論：如果將k拆位完後，得到1位置集合。那麼i的1位置集合與j的1位置集合即為k的1位置集合的子集。
得到這個結論後，我們即可構造：
\[fwt(a)=\sum_a(j)
\]這條柿子的意義即為：j的1的位置集合為i的1的位置集合的子集。
（其實為什麼這樣構造，理由是要去進行一波反演得到的。這裡就8推了，記結論）
那麼如果把\(fwt(a)\)和\(fwt(b)\)乘起來會變成什麼呢？
\[fwt(a)*fwt(b)=\sum_a(j)*\sum_b(k)\\=\sum_\sum_a(j)*b(k)\\=\sum_a(j)*b(k)\\=fwt(c)
\]那麼就有方向了。如果現在已經得到乙個新的東東\(fwt(a)\)，那麼答案就可以在\(o(n)\)時間內求出。
問題是如何快速求出\(fwt(a)\)。
如何找出fwt正變換
同樣考慮像fft一樣分治求之。
那麼遞迴可能會慢。怎麼辦？能不能像fft一樣把下標取出掘其規律？
那就試試。（逝世）
還記得這張神圖把。
考慮設a0表示當前分治到的當前位為0的序列，a1表示當前分治到的當前位為1的序列。
再回顧\(fwt(a)\)的定義：
\[fwt(a)=\sum_a(j)
\]那麼可以知道在對應位置的a0永遠是a1的子集。
所以可以寫成這個式子：
\[fwt(a)=(fwt(a0),fwt(a1+a0))
\]其中\(a1+a0\)表示對應位置相加。
於是我們的fwt正變換就完成了。
如何找出fwt逆變換（ifwt）
這個直接理解還挺簡單的。我們發現，由於fwt是求子集和，現在要求的是當前值。
所以把子集減去即可。
於是寫成這個式子：
\[fwt(a)=(fwt(a0),fwt(a1-a0))
\]後話
話說其實fwt可以有多種方法來看。
網上有的說這其實是fmt（快速莫比烏斯變換）
（其實這玩意我真的沒搞懂它和反演有什麼區別），我一開始看vfleaking的反演覺得是個子集反演用分治來做。
然鵝比較簡單的理解就是從位運算的意義上理解，可以推柿子來比較嚴謹地去證明，當然也可以我這樣直接理解地去推結論。
乙個問題有多種角度去看，有時是一件好事，有時卻是一件壞事，因為可能會莫衷一是，一開始學會陷入理解的困境。
不管怎樣，還是挺好玩的。就好像3blue1brown讓我學會的乙個道理，去發現數學的美，而不是去死板地認為這個就是乙個工具。
誒我tm怎麼莫名其妙就放了怎麼多沒用的屁話
結論\[fwt(a)=(fwt(a0),fwt(a1+a0))
\]\[ifwt(a)=(ifwt(a0),ifwt(a1-a0))
\]**
void orfwt(int a,int inv)
a(j)-\sum_a(j)
\]這玩意當然滿足\(fwt(c)=fwt(a)*fwt(b)\)
理由就是把這條柿子帶進去，然後再瞎換一下即可得到。
當然，在推柿子的時候可能要用到乙個結論：\(f(i\&j)\ xor\ f(i\&k)=f(i\&(j\ xor\ k))\)
這裡8推了。
如何找出fwt正變換
考慮如何求\(fwt(a)\)
觀察柿子：
\[fwt(a)=\sum_a(j)-\sum_a(j)
\]由於是位運算，那麼繼續套路，拆位。
考慮當前第i位，這一位就有4種情況：
這意味著什麼呢？
假如把\(fwt(a)\)取個絕對值（當然這樣計算最後的答案是不會改變的），那麼就可以把奇偶性改變都看做是減去貢獻，反之則為加上貢獻。
那麼正變換就得到了：
\[fwt(a)=(fwt(a0+a1),fwt(a0-a1))
\]如何找出fwt逆變換（ifwt）
逆變換一樣簡單，把上面的計算貢獻反過來即可。
\[ifwt(a)=(\frac2,\frac2)
\]結論
\[fwt(a)=(fwt(a0+a1),fwt(a0-a1))
\]\[ifwt(a)=(\frac2,\frac2)
\]**
void xorfwt(int a,int inv)
{ long long op,oq,kk;
for (int len=2;len<=m;len<<=1)
{ int mid=len/2;
for (int j=0;j#include #include #include using namespace std;
const long long mo=998244353;
const long long inv2=499122177;
int n,m,a[131072],b[131072],ja[131072],jb[131072];
void orfwt(int a,int inv)
{ long long op,oq;
for (int len=2;len<=m;len<<=1)
{ int mid=len/2;
for (int j=0;j學習資料：
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